2015-05-06
1436
Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю, т.е.
.
Пусть в гильбертовом пространстве сигналов L2 на отрезке времени [t1,t2] в качестве координатного базиса задана бесконечная система функций 
. Пусть норма функций 
и функции ортогональны друг другу. Тогда скалярное произведение принимает вид
В этом случае говорят, что в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.
Произвольный сигнал x(t)ÎL2 можно разложить по координатному базису в ряд:
. (2.3.3)
Такое разложение называют обобщенным рядом Фурье сигнала x(t) в выбранном базисе. Коэффициенты этого ряда (координаты сигнала) определяют следующим образом. Умножим обе части разложения в ряд (2.3.3) на произвольную базисную функцию 
. Затем проинтегрируем результаты по времени:
Так как базис ортонормирован, то правая часть этого равенства будет равна aj. Отсюда следует
. (2.3.4)
Выражения (2.3.3) и (2.3.4) определяют представление сигналов посредством обобщенных рядов Фурье.
