Методика анализа

Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-шум (помеха) на выходе фильтра. Фильтры, отвечающие этому критерию, называются согласованными.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. Пусть на вход фильтра подается аддитивная смесь сигнала. S(t) и шума Сигнал полностью известен. Это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, т.к. для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

Для уяснения сути согласованной фильтрации сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с равномерной АЧХ имеется лишь один полезный сигнал S(t) с известным спектром . Требуется найти ФЧХ фильтра, при которой обеспечивается максимализация типа сигнала на выходе фильтра. Такая постановка задачи равносильна задаче максимизации пика сигнала при заданной энергии входного сигнала, поскольку спектральная плотность S(w) полностью определяет его энергию и не меняется фильтром, а любое изменение фазовых соотношений в спектре тем более не меняет энергии сигнала. Равенство S_вх(ω)= S_вых(ω) означает, что , т.е. ≠ К(ω).

Представим выходной сигнал в виде:

(4)

где - передаточная функция (5) четырехполюсника с искомой ФЧХ и равномерной АЧХ К₀=соnst.

Таким образом

(6)

Основываясь на очевидном неравенстве

(7)

и учитывая, что , можно составить следующее неравенство:

(8)

Это неравенство определяет верхний предел мгновенного значения колебания S_ВЫХ(t) при заданном спектре входного сигнала. Максимизация пика выходного колебания получается при обращении неравенства (8) в равенство, а для этого необходимо, как это следует из сопоставления выражения (6) и (8), обеспечить определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра j_к(w) и фазовой характеристикой спектра j_s(w) входного сигнала.

Допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент t₀ (пока еще неопределенный). Тогда выражение (6) дает

(9)

а условие обращения неравенства (8) в равенство сводится к следующему:

(10)

Это соотношение называют условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку первое слагаемое в правой части (10) компенсирует фазовую характеристику j_s(w) входного спектра S(jw). В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой j_к(w) сложение всех компонентов спектра, скорреëированных по фазе, образует пик выходного сигнала в момент t=t₀.

(11)

Соотношение (11) показывает, что только при линейной фазовой характеристике S_вых имеет пик, т.к. cosnw₁(t-t₀)=1 при t=0

Связь между фазовой характеристикой j_s(w), компенсирующей ее характеристикой [-j_s(w)] и полной фазовой характеристикой фильтра j_к(w)=-[j_s(w)+wt₀] видна из следующего рисунка. После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику.

Нелинейность фазовой характеристики φ_s означает, что гармоники задерживаются по-разному и следовательно не могут образовать max в момент t₀. При линейной фазовой характеристике в момент t₀ все гармоники имеют одинаковую фазу, поскольку гармоническая функция Cosnw₁(t-t₀), при t=t₀, всегда обращается в единицу.

Поскольку для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала, задержка t₀ не может быть меньше, чем полная длительность сигнала.

Введем теперь помеху на входе фильтра. При равномерном энергетическом спектре помехи (белый шум) W(w)=W₀=const - фильтр с равномерной АЧХ неприменим, т.к. мощность помехи на выходе достигает очень большой величины.

Для отыскания оптимальной передаточной функции, максимизирующей отношение сигнал-помеха на выходе фильтра, составим выражение для сигнала и шума сначала отдельно, а затем в виде их отношения.

Типовое значение сигнала определим выражением

(12)

Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра

где, W - спектр энергии шума.

Следовательно, отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи на выходе фильтра будет равно:

(13)

Воспользуемся известным неравенством Шварца

(14)

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

(15)

где А - произвольная константа.

Приравнивая , а , выражение (14) принимает вид

(16)

Следовательно, определяемое выражением (13) величина отвечает условию

(17)

Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного сигнала, запишем последнее (17) в форме

(18)

Из (15) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия , поэтому

(19)

Полученное выражение полностью определяет периодическую функцию, максимизированную отношение сигнал-помеха на выходе фильтра.

Учитывая, что , а комплексно-сопоряженная функция , (19) примет вид:

(20)

Из этого отношения вытекают два условия для фазовой и амплитудной характеристик согласованного фильтра:

(21)

и

(22)

В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжения), коэффициент А должен иметь размерность, обратную спектральной плотности сигнала.

Физический смысл условий (21), (22) следующий.

Первое из них, совпадающее с (10) и определяющее компенсацию начальных фаз в спектре сигнала, было истолковано выше. Соотношение (22), устанавливающее, что модуль передаточной функции К(jw) должен по своей форме совпадать с модулем спектральной плотности сигнала S(w), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К(w), отвечающей условию (22), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно: ослабление шума тем больше, чем меньше модуль S(w).

Ослабление сигнала из-за неравномерности К(w) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К(w) имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в величину типа сигнала сравнительно мал. В результате получается ослабление шума относительно сигнала. В сочетании с фазовой компенсацией спектра сигнала (на дисперсию выходного шума эта компенсация не оказывает влияния), это и приводит к максимизации отношения сигнал/помеха на выходе фильтра.