Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К(jw) является функцией комплексно сопряженной по отношению к спектру сигнала S(jw), указывает на существование связи и между временными характеристиками сигнала и фильтра. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Последняя связана с комплексной передаточной функцией парой преобразований Фурье. На этом основании имеем

(23)

Учитывая, что S^*(jw)= S(-jw), то переходя к новой переменной w₁=-w, получим

(24)

Правая часть этого выражения есть функция AS(t-t₀). Следовательно, если задан сигнал S(t), то импульсная характеристика согласованного фильтра

(25)

Рассмотрим графическую интерпретацию формулы (25) (см. рис.).

Кривая S(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала S(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция S(t₀-t), представляющая собой функцию S(-t) сдвинутую вправо на t₀=t, тоже зеркальна относительно S(t), но с осью симметрии t=t₀/2. (рис. 1). На рис. 2 показано аналогичное построение, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при t<0, поскольку отклик не может появиться ранее воздействия. Поэтому задержка t₀ не может быть меньше Т_С. Следовательно, только при может быть использована вся энергия сигнала для создания максимального пика в точке t=t₀. Отсюда очевидно, что увеличение t₀ сверх Т_С не влияет на величину пика выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

С другой стороны, условие накладывает на сигнал S(t) требование, чтобы длительность его T_C была конечна. Только в этом случае, при конечной величине задержки t₀ можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в рассматриваемом здесь смысле возможного только при импульсном сигнале, а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов.

Рассмотрим подобный вопрос о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задачи произвольный сигнал S(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра g(t) и Фурье-преобразование от этой функции K(jw), определяемые, соответственно, формулами (25) и (19). Вопрос ставится так: при каких условиях K(jw) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника?

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли-Винера, согласно которому неравенство

(26)

является необходимым условием, чтобы исполнительная функция К(w) могла быть модулем передаточной функции пассивной электрической цепи. Т.к. К(w) =AS(w), то (26) можно записать в виде

(27)

Отсюда следует, что необходимым условием физической осуществимости согласованного фильтра является сходимость материала (27). Это условие эквивалентно требованию, чтобы длительность сигнала была ограничена.