Система смешанного типа с ограничением по длине очереди

В системах обслуживания смешанного типа с ограничением по длине очереди заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь лишь в том случае, если ее длина не превышает некоторого . Если же число заявок в очереди уже равно , то вновь поступившая заявка покидает систему необслуженной.

Рассмотрим такую n- канальную систему обслуживания, сохранив прежние допущения о том, что входящий поток заявок простейший и время обслуживания распределено по показательному закону.

Число возможных состояний такой системы конечно, так как общее число заявок, связанных с системой в этом случае не может превышать . Перечислим эти состояния

все каналы свободны, очереди нет;

занят ровно один канал, очереди нет;

^{………………………………………………………………………}

занято ровно k каналов, очереди нет;

^{………………………………………………………………………}

заняты все n каналов, очереди нет;

заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

^{……………………………………………………………………}

заняты все n каналов, s заявок стоят в очереди;

^{……………………………………………………………………}

заняты все n каналов, q заявок стоят в очереди.

Поскольку число возможных состояний системы конечно и каждое из них достижимо из любого другого, предельный вектор в такой системе существует. Заметим, кроме того, что в такой системе обслуживания заявка, занявшая очередь, будет ожидать обслуживания неограниченно долго. Это обстоятельство позволяет использовать для описания процесса функционирования такой системы первые уравнений, полученных для смешанной системы обслуживания с ограничением по длительности, считая при этом параметр .

Соответствующая совокупность алгебраических уравнений имеет вид

Особенность структуры последнего уравнения связана, во-первых, с тем, что поступление нового требования в момент, когда система находится в состоянии , не может изменить состояния системы, а, во-вторых, с тем, что состояние является крайним и поэтому переход из в невозможен.

Решая так же, как и ранее, эту систему уравнений с привлечением дополнительного условия

Окончательно получим

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности того, что в очереди уже стоит заявок. Нетрудно заметить, что эти формулы могут быть получены из формул анализа поведения СМО с ожиданием, если положить в них и ограничить суммирование по верхней границей .

Пример. В двухканальную систему массового обслуживания поступает поток заявок с плотностью . Среднее время обслуживания одной заявки . Допустимая длина очереди равна 3. Рассчитать вероятность отказа, среднее число заявок в очереди, среднее время ожидания в очереди.