Двухфазная модель систем массового обслуживания с нулевой вместимостью блока ожидания

Простой случай:

Клиент должен сначала пройти прибор 1, а затем прибор 2. Предположим, что продолжительности обслуживания в каждом из приборов распределены показательно с параметром μ и что входной поток пуассоновский с интенсивностью λ. Введем условие: образование очередей возле узлов недопустимо. Введем: прибор 1 заблокирован, если обслуживание в прибор 1 завершено, а прибор 2 не готов к приему данного клиента (по причине не завершения обслуживания предыдущего клиента), т.е. клиент не имеет права на ожидание в промежутке между приборами 1 и 2. Для описания модели предположим, что 0, 1 и δ представляют состояние «прибор свободен», «прибор занят» и «прибор заблокирован». Поскольку у нас 2 прибора, то состояние системы будет иметь вид (i, j), где i – состояние прибора 1, а j – прибора 2. Тогда множество состояний обслуживающей системы:

{(i, j)} = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1). (δ,1)}

Обозначим через P_ij (t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии (i, j). Эти вероятности удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

Замечание: Для пояснения изменения состояния системы в промежутке приведем следующие таблицы:

Обозначим через и в указанных уравнениях переходим к пределу. Получаем систему для стационарного режима:

Обозначим и учитывая, что , мы получим, решение этой системы:

Отсюда, например, можем найти среднее чисто клиентов в системе:

Пример 1. Конвейер, на котором производится обработка агрегатов, обслуживается двумя операторами, каждый из которых выполняет конкретную совокупность операций. Размеры агрегатов таковы, что возле рабочего места операторов нельзя разместить более одного агрегата. Те агрегаты, которые не могут быть немедленно приняты для обработки на рассматриваемый конвейер, направляются на другие конвейерные линии. Пусть агрегаты поступают в соответствии с пуассоновским потоком с интенсивностью 10 штук в час. Продолжительность обслуживания – 5 минут в расчете на один агрегат.

Тогда: λ = 10, μ = 12, ρ = 0,833;

3 ρ ²+ 4 ρ + 2 = 3(0,833)² + 4(0,833) + 2 = 7,417.

Получаем: Р ₀₀ = 0,2697; Р ₀₁ = 0,2247; Р ₁₀ = 0,3181;

Р ₁₁ = Р _δ1 = 0,0936; EX = 0,917.

Вероятность того, что поступающий агрегат будет принят Прибором 1 равна P ₀₀ + P ₀₁ = 0,4944, тогда эффективная интенсивность поступления: λ_эфф = 0,4944·10 = 4,944. Следовательно полное время сборки на конвейерной линии:

E X совпадает (по смыслу) со средней продолжительностью обработки одного агрегата, т.к. образование очереди на конвейере не разрешено.

В среднем, агрегат может подвергаться обработке 5+5=10 мин. Отсюда для того, чтобы прибор 2 не оказался заблокированным (для данного примера), имеется резерв времени: 0,185 - 0,167 = 0,018 – эту разность можно интерпретировать как среднюю продолжительность задержки в приборе 1 из-за невозможности перехода в прибор 2.

2. k -фазная модель с неограниченной вместимостью блока ожиданий

Рассмотрим следующую систему массового обслуживания:

Поступления в соответствии с пуассоновским распределением с интенсивностью l. Распределение продолжительности показательное с интенсивностью m_i, i = 1,..., k. Можно доказать, что в условиях задачи поток клиентов, обслуживаемых каждым из k приборов, является простейшим, и каждый прибор можно рассматривать независимо с помощью СМО < M | M |1> (с очередью). Это означает, что для i -го прибора вероятность P_ni в стационарном режиме определяется:

число клиентов, находящихся в системе содержащей i -й блок обслуживания.

Естественно, этот результат справедлив лишь в том случае, когда

Такой же результат справедлив и в случае, когда i -й прибор состоит из m_i параллельно обслуживающих приборов, которые характеризуются основными m_i.

В этом случае каждый блок можно рассматривать независимо от других как систему < M | M | m_i > (с очередью).

И результат справедлив при условии l < m_i×m_i.

Пример 2. Пусть на технической линии в цехе промышленного предприятия имеется 5 последовательных приборов. Пусть на прибор1 интенсивность 20 заявок в час. Продолжительность технических процедур – показательное, 2 процедуры в 1 мин. Доля качественной продукции, производимой i -м прибором, обозначим через a_i, интерпретируя a_i как соотношение произведенной в i -м приборе качественной продукции к суммарному объему поступающих в данный прибор заявок на выполнение соответствующего вида работ. Тогда 1- a_i есть доля бракованной продукции, производимой в i -м технологическом приборе. Вероятность того, что в i -м приборе находится n_i изделий:, где

Требуется найти: какую вместимость должны иметь располагаемые между приборами блоки складирования, если требуется разместить все поступающие в очередной технологический блок изделия в течении b -й доли времени, необходимого для обработки изделий в этом приборе.

Требования к вместимости блоков будут удовлетворены при условии, если в месте, отведенном для промежуточного складирования, удастся разместить N_i -1 изделий, где N_i определяется из: