Спектральная плотность косинусоидального импульса

Для определения спектральной плотности косинусоидального импульса (рис. 2.22) можно применить непосредственное интегрирование по формуле преобразования Фурье (2.12). Однако, возможен и другой, более изящный путь, основанный на том, что косинусоидальный импульс можно представить как произведение гармонического сигнала на короткий импульс прямоугольной формы, длительность которого равна половине периода гармонического сигнала.

В этом случае мы можем для описания спектральной плотности воспользоваться выражением (2.49), положив там :

, (2.50)

или, после ряда преобразований

. (2.51)

График спектральной плотности импульса можно рассчитать и построить по формуле (2.51), однако для качественного построения и анализа удобнее воспользоваться исходным выражением (2.50). Для этого надо сначала построить вспомогательные графики первого и второго слагаемого выражения (2.50) и затем сложить эти два графика (рис. 2.23). Примечательной особенностью графика спектральной плотности является невысокий уровень боковых лепестков (около 6 % от главного лепестка), что объясняется сравнительной гладкостью косинусоидального импульса.

2.9. Энергетический спектр

Рассмотрим интеграл от произведения двух функций

. (2.52)

Этот интеграл обычно характеризует энергию сигнала. Если, например, f ₁(t) – ток, а f ₂(t) – напряжение сигнала на каком-то элементе, то W ₁₂ – энергия этого сигнала; если f ₁(t) и f ₂(t) – один и тот же сигнал, напряжение или ток, то W ₁₂ равняется энергии с точностью до коэффициента пропорциональности; если f ₁(t) и f ₂(t) – разные сигналы, то W ₁₂ называют "взаимной энергией".

Выразим одну из функций в (2.52), например, f ₁(t) через ее преобразование Фурье:

и подставим в (2.52), после чего входящий в состав этой формулы интеграл от f ₂(t) выразим через :

.

Или, иначе:

. (2.53)

Выражение (2.53) называется равенством Парсеваля.

Особый интерес представляет случай, когда f ₁(t) = f ₂(t) = f (t). В этом случае равенство Парсеваля записывается в следующем виде:

, (2.54)

где – энергетический спектр сигнала f (t).

Выражение (2.54) (его называют еще теоремой Релея) означает, что энергия сигнала может быть вычислена путем как интегрирования квадрата временной функции, так и квадрата модуля спектральной плотности, т.е. энергетического спектра.