Задачи и упражнения. 1. Найдите спектр периодической последовательности треугольных импульсов (рис

1. Найдите спектр периодической последовательности треугольных импульсов (рис. 2.26).

Решение. Воспользуемся выражением (2.31) для спектральной плотности треугольных импульсов и выражением (2.11), которое связывает огибающую спектра периодического сигнала со спектральной плотностью одного импульса.

Подставляя в эти выражения Т = Т _и = 10 мкс, Е = 5 В, построим график огибающей

(рис. 2.27).

Расставим спектральные составляющие. Первая гармоника находится на частоте w = 2 p / Т = 2 p ×10⁵ рад/с. Ее амплитуда равна

В.

Частота второй гармоники 4 p / Т совпадает с положением нуля огибающей, поэтому амплитуда второй гармоники равна нулю.

Частота третьей гармоники 6 p / Т = 6 p ×10⁵ рад/с. Ее амплитуда

В.

Частота четвертой гармоники совпадает с очередным нулем огибающей и ее амплитуда равна нулю.

Частота пятой гармоники равна 10 p / Т = 10 p ×10⁵ рад/с. Ее амплитуда

В.

Аналогично определяются все остальные гармоники.

Для определения постоянной составляющей проинтегрируем наш сигнал за период:

В.

Этот результат настолько очевиден, что его можно было найти, не выполняя интегрирования. В результате мы получаем спектральную диаграмму, которая изображена на рис. 2.27.

2. Найти спектральную плотность трапециевидного импульса, изображенного на рис. 2.28. Построить график модуля спектральной плотности.

Решение. Спектральную плотность трапециевидного импульса можно определить по крайней мере четырьмя способами:

– непосредственным интегрированием с помощью преобразования Фурье;

– с помощью двукратного дифференцирования, как при определении спектральной плотности треугольного импульса (см. стр. 25);

– с помощью однократного дифференцирования;

– рассматривая трапециевидный импульс как разность двух треугольных импульсов.

Рассмотрим решение задачи третьим и четвертым способами.

При однократном дифференцировании трапециевидного импульса получается сигнал в виде двух прямоугольных импульсов: положительного и отрицательного (см. рис. 2.28, б). Используя известное выражение для спектральной плотности треугольного импульса и теорему о запаздывании, запишем выражение для спектральной плотности производной трапециевидного импульса:

. (2.57)

Для определения спектральной плотности трапециевидного импульса разделим выражение (2.57) на jw, разность комплексных экспонент преобразуем к синусу и после некоторых преобразований получим

. (2.58)

А теперь представим трапециевидный импульс в виде разности двух треугольных импульсов: большого и маленького (см. рис. 2.28, в). Используя известное выражение для спектральной плотности треугольного импульса, запишем выражение для спектральной плотности трапециевидного импульса:

. (2.59)

Как видно, последний способ нахождения спектральной плотности оказался наименее трудоемким. Читатель при желании может проверить идентичность выражений (2.58) и (2.59). График модуля спектральной плотности трапециевидного импульса изображен на рис. 2.29.

3. Найти спектральную плотность серии из шести треугольных импульсов (рис. 2.30). Построить график модуля спектральной плотности этого сигнала. Длительность каждого импульса Т _и = 1 мкс, период повторения Т = 5 мкс, амплитуда импульса Е = 10 В.

Решение. Выберем начало отсчета времени t = 0 в середине первого импульса. Тогда его спектральная плотность запишется в виде

В соответствии с теоремой о запаздывании спектральную плотность второго импульса получим, умножив

на e ^–j^wT, для третьего импульса – на e ^–j^w ^{2 T} и т. д. В результате получим следующее выражение для спектральной плотности серии импульсов:

. (2.60)

Выражение (2.60) представляет собой геометрическую прогрессию, сумма которой равна

Чтобы найти модуль этого выражения, домножим числитель на e ^–j^w ^{3 T}, а знаменатель на e ^–j^wT^/ ². В результате после некоторых преобразований получим

. (2.61)

Для построения графика модуля спектральной плотности необходимо проанализировать поведение функции

Это периодическая функция с периодом 2 p / Т. При w = 0 достигается максимальное значение. Это значение легко найти, раскрыв неопределенность при w ® 0. Заменяя значения синуса для малых аргументов значениями аргументов, получаем

Это максимальное значение повторяется при w = 2 p / Т, w = 4 p / Т и т. д. В промежутках между этими главными максимумами функция g (w) имеет несколько нулей и несколько небольших максимумов.

График модуля спектральной плотности серии импульсов изображен на рис. 2.31.

4. Найти спектры сигналов изображенных на рис. 2.32, если Е = 1 В, Т = 1 мкс.

5. Что общего и в чем отличие у спектров двух сигналов, изображенных на рис. 2.33 а, б.

6. Найти спектр серии из четырех косинусоидальных импульсов, изображенных на рис. 2.34, если Т_и = 2 мкс, Т = 4 мкс, U = 10 В.

7. Найти спектральную плотность импульсов, изображенных на рис. 2.35

8. Найти спектр серии из 100 импульсов прямоугольной формы. Изобразить качественно график спектральной плотности. Сравнить со спектром периодической последовательности импульсов.

Указание. Воспользоваться результатом решения задачи 3.

а б