Распределение интервалов времени между событиями

Свойства простейшего потока определяют распределение интервалов времени между событиями.

Из стационарности простейшего потока следует, что l ¹ l(t).

Из ординарности потока следует, что на малом интервале времени от t до t+Dt (lDt<<1) может не произойти ни одного события с вероятностью P₀(Dt) или появится одно событие с вероятностью P₁(Dt). Сумма вероятностей

поскольку в ординарном потоке в течение малого интервала времени может появиться не более одного события (одно событие или ни одного).

Вероятность появления одного события на малом интервале P₁(Dt)= lDt, следовательно,

P₀(Dt)= 1- P₁(Dt)=1-l Dt.

Найдем вероятность того, что на произвольном интервале времени t не окажется ни одного события (P₀(t)). Положим, что интервал времени от нуля до t разбит на равные отрезки Dt. Чисто таких отрезков, очевидно, равно t/Dt. Тогда в силу отсутствия последействия вероятность того, что на всем интервале (0, t) не появится ни одного события, равна произведению вероятностей того, что событие не наступит на отдельных интервалах Δt:

При Dt®0 получим:

.

Вероятность P₀(t) - это вероятность того, что интервал времени между событиями окажется больше t. Вероятность противоположного события, то есть функция распределения интервалов времени между событиями в простейшем потоке

F(t) = 1-P₀(t)=1- exp(-lt), t > 0.

Таким образом, простейший поток - это поток с функцией распределения вероятностей интервалов времени между событиями

F(t) = 1- exp(-lt), t > 0.

Следовательно, в простейшем потоке интервалы времени между событиями имеют экспоненциальную плотность распределения вероятностей

.

Можно показать [20], что простейшие потоки событий относятся к т.н. пуассоновским потокам, т.е. что вероятность того, что на интервале протяженности t произойдет ровно k событий, определяется распределением Пуассона

.