Одноканальные системы с ожиданием

Интенсивность входящего потока l, интенсивность обслуживания m. Множество возможных состояний системы: S₀ - канал обслуживания свободен; S₁ - канал обслуживания занят, очереди нет; S_k - канал обслуживания занят, в очереди k-1 заявка (k=2, 3,...,m); S_(m+1) - канал обслуживания занят, в очереди m заявок. Размеченный граф состояний системы представлен на рис. 4.2.

При исследовании систем массового обслуживания, как правило, анализируются предельные вероятности состояний. Система уравнений для предельных вероятностей:

Уравнение нормировки Sp_k=1.

Для определения стационарных вероятностей сначала выразим все вероятности, начиная с p₁, через p₀, а затем, воспользовавшись уравнением нормировки, найдем p₀. Введем обозначение a=l/m..

Из первого уравнения p₁=ap₀. Из второго уравнения p₂=a²p₀. По аналогии вероятность k-го состояния определится как p_k=a^kp₀. Подставив полученные выражения в нормировочное уравнение, получим

, .

В квадратных скобках - сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем a и числом членов m+1 [2]. Следовательно,

,

При числе мест в очереди равном нулю (m=0)

,

что соответствует полученному ранее результату для системы M/M/1.