Формула Литтла

Среднее время пребывание заявки в системе определяется теоремой Литтла:

Для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания и при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (T_сист) в стационарном режиме равно среднему числу заявок в системе (K_сист), деленному на интенсивность потока заявок [4 ].

Отметим, что время пребывания в системе заявки, получившей отказ в обслуживании, оказывается равным нулю.

Доказательство. Пусть на вход системы массового обслуживания поступает поток заявок с интенсивностью l. Полагаем, что система функционирует в стационарном режиме достаточно длительное время T (T>>1/l).

За время T на вход системы поступает n»lT заявок, каждая из которых находится в системе время t_i (i=1..n). В число n входят и заявки, получившие отказ в обслуживании. Время их пребывания в системе полагается равным нулю.

Суммарное время пребывания всех заявок в системе

.

Очевидно, что среднее число заявок в системе в течение времени T

K_сист=T_сумм/T.

Если числитель и знаменатель правой части равенства умножить на l, то

.

Но отношение St_i/n есть ни что иное, как среднее время нахождения одной заявки в системе:

.

Откуда следует так называемая формула Литтла

T_сист=K_сист/l.

При конечном числе каналов (n) и мест для ожидания (m) число заявок, которые могут находиться в системе, ограничено величиной n+m.

Поэтому с увеличением интенсивности входящего потока среднее время пребывания заявки в системе сначала растет (по мере заполнения каналов обслуживания и мест в очереди заявками), а затем вследствие возрастания вероятности отказа в обслуживании начинает уменьшаться так, что асимптотически при l®¥ T_сист ~ (n+m) /l.

Аналогичное равенство в большинстве случаев верно и для среднего времени ожидания заявки в очереди

T_ож=K_ож/l,

где K_ож - среднее число заявок в очереди.

Отметим, что для некоторых систем это соотношение может оказаться неверным. Например, для систем с инверсным (т.е. при обслуживании, начиная с конца очереди) обслуживанием заявок.