И их математическое описание

1 2 3 4 5 6 7

1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рис.2.14).

Рис.2.14

Основные параметры последовательности импульсов: U - амплитуда; t - длительность; T - период. Дополнительные параметры:

- скважность, - коэффициент заполнения.

Математическая запись в форме аналитической функции:

На основании формулы (2.4.3) для прямого преобразования Фурье найдем комплексный спектр

Рис.2.15

Выражение в квадратных скобках обозначим как - функция отсчетов (рис.2.15), принимающая нулевые значения в точках при k=1,2,...

Итак, , так как .

Из формулы видно, что - действительная величина . Такую величину можно представить в виде одного графика (рис.2.16).

Рис.2.16

Пусть параметры сигнала T=1/4c, t=1/20c и q=1/5. Тогда для первого графика на рис.2.16 имеем: w_k=kw₁=2kp/T=8kp; w₁=8p, w₂=16p, w₃=24p, w₄=32p, w₅=40p; Sa(kpq)=Sa(kp/5)=0 при k=5, 10, 15,... Первый нуль функции отсчетов будет в точке 40p на частоте w₅=40p.

Изменим параметры сигнала: T=1/2c, t=1/20c и q=1/10. Тогда для второго графика на рис.2.16 получим w_k=4kp и Sa(kpq)=Sa(kp/10)=0 при k=10, 20, 30,... Здесь первый нуль функции отсчетов будет также в точке 40p, но на частоте w₁₀=40p. В результате на интервале 40p в отличие от первого графика размещаются 10 спектральных линий, включая нулевую в точке 40p.

Пример показывает, что с увеличением периода T частота основной гармоники уменьшается. В результате растет число гармоник на фиксированном интервале частот, например [0,40p]. Другими словами, с увеличением T спектр становится плотнее. При этом амплитуды гармоник уменьшаются. Форма огибающей спектра не изменяется. Она зависит только от формы импульса.

В пределе при T ® ¥ имеем одиночный импульс, т.е. непериодический сигнал. Спектр при T ® ¥ становится сплошным и имеет вид огибающей спектра периодической последовательности импульсов.

Пример также показывает, что спектр четной функции x(t) - действительная функция, для описания которой достаточен один график.

Спектр нечетной функции x(t) - комплексная функция. Для описания этого спектра нужны два графика - спектр амплитуд и спектр фаз.

2. Одиночный прямоугольный импульс (рис.2.17).

Это непериодический сигнал. Аналитическая форма его записи:

Интегральное преобразование Фурье функции x(t) имеет вид

;

Спектральная функция является действительной функцией, т.е. F(jw)=F(w). Значит, спектр может быть представлен одним графиком (рис.2.18).

Рис.2.18

Так как F(w) - знакопеременная функция, то переход к амплитудному спектру (рис.2.18)

требует введения фазового спектра, несмотря на то, что функция

j(w) = ,

иначе потом исходный сигнал x(t) не восстановить.

3. Функция отсчетов (рис.2.19).

x(t)= Sa(w_ct)

Рис.2.19

Сравнение преобразования Sa(w_ct)ÛF(jw) с п.2.6.2 показывает еще одно свойство преобразования Фурье - свойство взаимности. Переменные t и w взаимно заменимы.

4. Односторонний экспоненциальный импульс.

Спектральная функция комплексна, так как x(t) - нечетная функция. Для ее представления нужны два графика - амплитудный и фазовый спектры (рис.2.20).

Рис.2.20

5. Единичный импульс (или дельта-функция).

Введем понятие дельта-функции. Рассмотрим прямоугольный импульс D(t) (рис.2.21).

Для него условие нормировки имеет вид

единичная площадь.

Устремим t® 0. Функция называется дельта-функцией или единичным импульсом (рис.2.22). Согласно определению,

Площадь d-импульса (условие нормировки).

Эта функция является абстрактным понятием, а именно математической идеализацией.

Дельта-функцию можно сдвигать по оси времени (рис.2.23). В общем случае

Дельта-функция (рис.2.24) обладает фильтрующими свойствами, т.е.

Очевидно, при t₀=0 имеем

Рассмотрим спектральное представление d-функции (рис.2.25):

Рис.2.25

Дельта-функция имеет равномерный спектр. Она содержит все частоты с одинаковой плотностью амплитуд.

Единичный импульс, т.е. d-импульс, широко используется как испытательный сигнал. Согласно обратному преобразованию Фурье его можно записать и в такой форме: