Различают два режима работы - статический и динамический.
А. Статика (рис.2.35).
Рис.2.35
Коэффициент передачи или чувствительность линейного устройства
.
Две типовые структурные схемы ЛУ приведены на рис.2.36.
При последовательном соединении звеньев устройства (рис.2.36,а) коэффициент передачи
.
Рис.2.36
Для устройств с обратной связью (рис2.36,б, где xoc - сигнал обратной связи; ИСС - измерительная схема сравнения сигналов x и xoc )
где “+” берется при отрицательной обратной связи, а “-” - при положительной обратной связи.
Б. Динамика. Идеальное линейное устройство (ИЛУ) (рис.2.37).
Рис.2.37
Реальное линейное устройство (РЛУ). Для описания его работы в динамическом режиме служат следующие характеристики.
1. Линейное дифференциальное уравнение:
аny(n) (t)+ аn-1y(n-1) (t)+…+ а1y¢ (t)+ а0y(t)= b0x(t)+ b1x¢ (t)+…+ bmx(m) (t),
где аn и bm - параметры устройства. Решение данного уравнения дает связь между функциями x(t) и y(t).
2. Частотные характеристики:
а) Комплексный коэффициент передачи (рис.2.38).
Функция , определяемая как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного сигнала и где w - вещественная частота, называется комплексным коэффициентом передачи или комплексной частотной характеристикой устройства. Ее можно представлять в другой форме:
|
|
,
где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
- фазочастотная характерстика (ФЧХ).
Для идеального устройства АЧХ (2.39,а) и ФЧХ (2.39,б) имеют вид (рис.2.39):
Рис.2.39
Идеальная ФЧХ может быть двух видов:
1) j(w) = 0 (прямая 1) - такая характеристика не вносит запаздывания;
2) j(w) = - wt0 (прямая 2) - вносит запаздывания на время t0 (рис.2.40).
Рис.2.40
Комплексный коэффициент передачи можно найти из дифференциального уравнения, произведя замену оператора дифференцирования d/dt на оператор jw:
.
Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.2.41.
Рис.2.41
б) Передаточная функция (рис.2.42).
Функция называется передаточной функцией, где р - комплексная частота. Это обобщение функции К(jw).
Передаточную функцию К(р) можно получить:
1) из дифференциального уравнения заменой d/dt на оператор “р”
где zi - нули; рi - полюсы передаточной функции;
2) из комплексного коэффициента передачи заменой (jw) на “р”
.
Передаточная функция нашла широкое применение при анализе и синтезе линейных устройств (рис.2.43 и 2.44).
3. Временные характеристики:
a) Весовая функция. Реакция (или отклик) устройства на d-функцию (рис.2.45) называется весовой или импульсной функцией g(t).
Рис.2.45
Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(jw). Очевидно, спектр весовой функции
|
|
.
Отсюда на основании обратного преобразования Фурье имеем
или при замене (jw) на оператор “р” получим
,
т. е. обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает импульсную функцию.
На практике обычно решается обратная задача. На вход устройства подают испытательный сигнал d(t). В результате эксперимента получают весовую функцию g(t). Затем на основании весовой функции определяют или комплексный коэффициент передачи К(jw), или передаточную функцию К(р):
б) Переходная функция. Реакция устройства на единичную функцию 1(t) называется переходной функцией h(t) (рис.2.46).
Рис.2.46
Рассмотрим связь между функциями h(t), К(jw) и К(р). Очевидно, спектр переходной функции:
На основании обратного преобразования Фурье этого спектра с учетом фильтрующих свойств дельта-функции d(w) следует
Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда окончательно имеем: