Спектральное представление стационарных процессов

Пусть х(t) - реализация эргодического процесса. Для нее подобно мощностным детерминированным сигналам можно найти спектральную плотность мощности (см. энергетические характеристики детерминированных сигналов)

Квадрат модуля спектральной функции

где - комплексно-сопряженная спектральная функция реализации

- спектральная функция при .

Пусть переменная z = t + t, где t - новая переменная, причем dt = dz. Тогда

Спектральную плотность мощности можно представить в виде

Таким образом, спектральная плотность мощности S(w) эргодического процесса есть прямое преобразование Фурье для корреляционной функции R(t). Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование:

Эта пара преобразований, связывающая функции R(t) и S(w), называется преобразованием Хинчина - Винера. Они доказали, что такое преобразование справедливо для всех стационарных процессов, а не только для эргодических.

Спектральная плотность мощности S(w) (рис.2.63) - функция действительная, четная, т.е. S(w)=S(-w), определена на частотах ±w и положительная - S(w)>0.

Функцию S(w) иногда называют энергетическим спектром случайного процесса. Этот спектр не несет информации о фазовых соотношениях. По нему нельзя восстановить реализацию процесса как функцию времени.

Функции R(t) и S(w) обладают всеми свойствами пары преобразований Фурье. В частности, чем шире спектр S(w), тем уже корреляционная функция R(t).

Процесс, у которого S(w) = S₀= const (рис.2.64), называется “белым шумом”.