3.3.1. Условие примера
Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.
Масса груза m =0,8 кг, амплитуда возмущающей силы
=28,8 Н, ее круговая частота с-1, начальные условия движения груза на пружине м, м/с.
Определить коэффициент с упругости пружины для значения коэффициента динамичности при .
Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.
Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.
При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.
Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При значении коэффициента затухания с-1, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.
|
|
3.3.2. Решение примера
Определим коэффициент с упругости пружины.
При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле
,
откуда
с-2.
С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен
,
следовательно
Н/м.
Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением
.
Здесь - деформация пружины при статическом действии силы .
В нашем примере
м, м.
Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 3.2
Составляем дифференциальное уравнение движения груза
(3.1)
где - сила упругости пружины:
.
Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (3.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:
которое приводится к канонической форме
(3.2)
Здесь м/с2.
Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:
м, (3.3)
м/с.
Общее решение уравнения (3.2) является суммой двух функций
,
где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.
Однородное уравнение имеет решение
,
где и и - постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения следующее
.
Таким образом, в нашем примере
. (3.4)
Постоянные интегрирования находим из начальных условий (3.3).
Подставляя функцию (3.4) в первое начальное условие, имеем:
,
откуда
м.
Далее определяем производную по времени от функции (3.4)
|
|
.
Тогда из второго начального условия (3.3), следует
.
Получаем
м.
Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид
, м.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая
(3.5)
Результаты вычислений по формуле (3.5) для различных значений z приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
z | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 | |
В×102, м | 1,0 | 1,07 | 1,33 | 2,29 | 5,26 | ¥ | 4,76 | 1,78 | 0,8 | 0,485 | 0,333 |
По данным табл. 3.2 строим кривую 1 на рис. 3.3, которая называется амплитудно–частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления.
При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид
,
где n – коэффициент затухания (с-1).
Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле
(3.6)
где - относительный коэффициент затухания .
В нашем случае .
Результаты вычислений по формуле (3.6) для различных значений z приведены в табл. 3.
Таблица 3.3
z | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 | |
В ×102, м | 1,0 | 1,06 | 1,29 | 1,89 | 2,46 | 2,5 | 2,05 | 1,33 | 0,72 | 0,459 | 0,322 |
По данным табл. 3.3 строим кривую 2 на рис. 3.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.