Пример выполнения задания. Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис

4.3.1. Условие примера

Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4. 2, массой =20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью =2 с^-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии È AM= от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой =8 кг. В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом Нм. При t = t ₁=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону м.

Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и t = t ₂=5 с, если R =0,6 м, a =1,2 м; b =0,9 м

4.3.2. Решение примера

Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z

, (4.1)

где - кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;

- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0; t ₁].

В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы , , , , , , , (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту , то есть

. (4.2)

Кинетический момент данной системы равен сумме

,

где - кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z.

Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому

.

Здесь - угловая скорость тела, а - его момент инерции относительно оси z.

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)

.

По теореме Штейнера

.

Таким образом

.

Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба

.

Скорость точки К

.

Очевидно, что .

Согласно условию задачи длина дуги окружности , тогда центральный угол . Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО ₁ и .

Имеем

.

Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее

(4.3)

Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем

,

откуда

.

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:

.

Тогда

с^-1.

В момент времени t ₁ из выражения (4.3) имеем

Нмс.

Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени .

После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z (см. рис. 4.4).

Тогда равенство (4.1) примет вид

,

то есть .

Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t ₁ и в конце t ₂ отрезка времени [ t ₁; t ₂] равны

.

В момент времени t ₂ тело D вращается с угловой скоростью (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол

.

Кинетический момент системы относительно оси в конце t ₂ отрезка времени [ t ₁; t ₂] также равен сумме кинетических моментов тела и точки :

.

Очевидно, что

По теореме о сложении скоростей:

,

где , , - абсолютная, относительная и переносная скорости точки.

Умножая обе части этого равенства на m ₂, получаем:

.

Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t ₂ равен сумме моментов векторов и относительно оси z

Относительная скорость точки К

.

При t = t ₂=5 c найдем величину относительной скорости точки К

м/с.

Переносная скорость точки К

.

Из прямоугольного треугольника О ₁ ОВ по теореме Пифагора имеем:

.

Окончательно получаем

Тогда

Приравнивая и :

,

находим

с^-1.

5. Задание №4. Применение теоремы об изменении
кинетической энергии к изучению движения механической системы