Пара сил. Момент пары сил на плоскости

Парой сил называется система двух сил и (рис. 3.3), приложенных к твердому телу, удовлетворяющая следующему условиям:

1. Линии действия сил параллельны;

2. Модули сил равны (F = F’);

3. Направления действия сил противоположны.

Плоскость, на которой лежат линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары. Расстояние h между линиями действия сил и называется плечом пары. Совокупность пар, приложенных к телу, называется системой пар.

F’

Рис. 3.3

Пара сил, приложенная к телу, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется ее моментом. Моментом пары сил называется произведение модуля одной из сил пары на ее плечо, взятое со знаком «+» или «-»

. (3.3)

Момент пары считается положительным, когда пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - когда по ходу часовой стрелки.

Теорема об эквивалентных парах. Две пары сил, лежащие на одной плоскости и имеющие равные алгебраические величины моментов эквивалентны.

Доказательство:

Пусть (, ) и (, ) – две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты М (, ) =М(, ). Продолжим линии действия сил пересечения друг с другом (рис. 3.4). Перенесем силы и по линиям действия в точки А и В и разложим каждую из них на составляющие. Получим { , } <=> { , , , }. Из построения имеем =- , =- , так как и направлены по одной прямой, то { , }. <=> 0, а { , } <=> { , }.

Докажем эквивалентность пар (, ) и (, ). Для этого достаточно доказать, что = . Плечи пар (, ) и (, ) равны, момент пары (, ) численно равен удвоенной площади треугольника АВС, а момент пары (, ) – удвоенной площади треугольника АВD. Но площади этих треугольников равны, так как у них общее основание и равные высоты, опущенные из вершин С и D, то есть F₂h=F₁h₁, но так как Fh=F₁h₁, то F₂h=Fh, следовательно = , тогда (, ) <=> (, ) и (, ) <=> (, ).

F’

F₁

h₁

F’₁

F’₃

F₃

F₂

F’₂

Рис. 3.4

Следствия из теоремы об эквивалентных парах:

1. Пару сил можно переносить в любое место плоскости ее действия;

2. Действие пары сил на тело не изменится, если изменить значения модуля силы и плеча, оставляя величину момента прежней;

3. Пару сил можно переносить в плоскость параллельную плоскости действия.

Теорема о сложении пар сил. Пары сил, лежащие в одной плоскости можно складывать. В результате сложения получается лежащая на той же плоскости пара сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство:

Докажем для двух пар. Пусть (, ) и (, ) – пары, лежащие на одной плоскости и имеющие моменты М₁ = F₁h₁ и М₂ = F₂h₂. Возьмем произвольный отрезок АВ = h (рис. 3.5). На основании теоремы об эквивалентных парах можно заменить введенные пары эквивалентными им парами (, ) и (, ), имеющими плечо h. , сложим силы в точке А, получим = + ; в точке В – = + ; =- .