Определение веса отдельных элементов вантовых мостов 3 страница

- для среднего пролета

. (3.44)

Для получения линии влияния натяжения (распора) кабеля достаточно разделить величину на . Полученные значения представляют собой ординаты линии влияния.

Площади линий влияния для натяжения кабеля определяются интегрированием или их можно подсчитать по выражению [6]:

, (3.45)

где – площадь линии влияния при комбинациях загружения пролетов, определяемая по графикам (рис. 3.11). Далее устанавливается величина распора и значения усилий

Рассмотрим линии влияния изгибающих моментов в балке. Ординаты этих линий влияния могут быть выражены формулой

, (3.46)

где – ордината линий влияния для простой неразрезной балки; С – некоторый постоянный коэффициент, зависящий от места сечения и показывающий величину изгибающего момента от натяжения цепи Н = 1.

Ординаты определяются по таблицам или аналитически в основной системе, показанной на рис. 3.12, а. На опоре 1 приложен момент
= 1. Величины находят как .

Определяется момент на опоре 2 по выражению .
Тогда

. (3.47)

Рис. 3.11. Графики вида : 1 – при загружении бокового пролета; 2 – при загружении среднего пролета; 3 – при загружении трех пролетов

Рис. 3.12. К определению линий влияния в балке жесткости: а – основная система; б – линия влияния опорного момента

Для определения прогибов составляются и интегрируются дифференциальные уравнения на трех участках балки:

- для первого участка

; (3.48)

- для второго участка

; (3.49)

- для третьего участка

. (3.50)

Для частного случая при по формуле (3.47) имеем

Разделив на эту величину перемещения , получим ординаты линии влияния момента на левой опоре для простой неразрезной балки
(рис. 3.12, б). Тогда при , для трех участков они равны:

(3.51)

По этим формулам для разных сечений балки определяются величины слагаемых формулы (3.46).

Второе слагаемое формулы (3.46) находится следующим образом. При расположении груза Р = 1 на балке ордината линии влияния натяжения кабеля равна Этому натяжению соответствует направленная вверх по всей длине балки равномерно распределенная нагрузка q. Выше было установлено (3.38), что при натяжении Н = 1 такая нагрузка вызывает на опоре момент . В рассматриваемом случае натяжение равно , следовательно,

. (3.52)

Ординаты можно вычислить так, как это было показано выше, или умножением ординат (табл. 3.2) на множитель . Тогда момент (слагаемое ординаты линии влияния момента от действия натяжения кабеля) будет равен:

, (3.53)

где определяется по формуле (3.41).

Сделав соответствующие подстановки в формулу (3.53) при и произведя сокращения, получим

. (3.54)

Далее производится алгебраическое суммирование ординат и по отдельным пролетам и строится искомая линия влияния опорных
моментов в балке.

Таблица 3.2

Ординаты линий влияния
опорного момента для отношений

1-й пролет ()	2-й пролет ()	3-й пролет ()
	при		при		при
0,8	0,5	0,3	0,8	0,5	0,3	0,8	0,5	0,3
	–	–	–
0,2		–	–	0,2	0,04	0,075	0,06	0,8	0,03	-0,01	-0,005
0,4	0,04	–	–	0,4	0,06	0,095	0,09	0,6	0,04	-0,005
0,5	0,05		–	0,5	0,065	0,10	0,095	0,5	0,05		–
0,6	0,04	-0,005		0,6	0,06	0,095	0,09	0,4	0,04	–	–
0,8	0,03	-0,01	-0,005	0,8	0,04	0,075	0,06	0,2		–	–
1,0				1,0					–	–	–

Подобным образом могут быть построены линии влияния изгибающих моментов в других сечениях балки жесткости.

В качестве примера в табл. 3.3 приведены ординаты h линий влияния моментов в середине среднего пролета для некоторых отношений .

Таблица 3.3

Ординаты h * линий влияния момента
в середине среднего пролета

1-й пролет ()	2-й пролет ()	3-й пролет ()
	при			при
0,8	0,5	0,3	0,8	0,5	0,3	0,8	0,5	0,3
	–	–	–					1,0
0,1	–	–	–	0,1	0,02	-0,005	-0,01	0,9	0,005	-0,005	0,002
0,2		–	–	0,2	0,04	-0,01	-0,02	0,8	-0,02	-0,01	0,005
0,3	–0,02	–	–	0,3	0,06	-0,01	-0,02	0,7	-0,04	-0,015
0,4	–0,035	–	–	0,4	0.10	0,01	0,01	0,6	-0,045	-0,01	–
0,5	–0,045		–	0,5	0,13	0,05	0,04	0,5	-0,045		–
0,6	–0,045	–0,01	–	0,6	0,10	0,01	0,01	0,4	-0,035	–	–
0,7	–0,040	–0,015		0,7	0,06	-0,01	-0,02	0,3	-0,02	–	–
0,8	–0,1020	–0,01	0,005	0,8	0,04	-0,01	-0,02	0,2		–	–
0,9	0,005	–0,005	0,002	0,9	0,02	-0,005	-0,01	0,1	–	–	–
1.0				1.0					–	–	–

* к ординатам h вводится множитель .

Построение линий влияния поперечных сил аналогично построению линий влияния изгибающих моментов, т. е. в соответствии с формулой

, (3.55)

где – ордината линии влияния простой неразрезной балки; – величина поперечной силы, возникающей под влиянием натяжения кабеля от единичной силы.

Для безраспорной трехпролетной висячей системы с неразрезной балкой, когда криволинейные оттяжки не заделаны в устоях, а закреплены на концах балки, выводы и формулы, изложенные выше, несколько изменяются. Это связано с тем, что при загружении такой системы в балке помимо изгибающего момента возникает сжимающее усилие, равное натяжению кабеля (распору). Основы расчета остаются те же, что изложены для распорных систем.

Ординаты линии влияния распора находятся по известной формуле , в которой определяется с учетом деформации от обжатия балки жесткости:

, (3.56)

где – моменты и осевые усилия в балке от нагрузки Н = 1, – усилия в кабеле, оттяжках, подвесках и пилоне, – площадь поперечного сечения балки; – площади поперечного сечения кабеля, оттяжек, подвесок, пилона; – длина (высота) элементов; – момент инерции балки (3.14).

Раскроем составляющие формулы (3.56). Тогда (см. рис. 3.10, а):

- для кабеля среднего пролета

; (3.57)

- для кабелей (оттяжек) двух крайних пролетов приближенно по формуле (3.57) с заменой на на и натяжения Н = 1 – на

; (3.58)

- для подвесок, учитывая, что усилия в них одинаковые

; (3.59)

- для пилонов

; (3.60)

- для балки жесткости при ее обжатии

; (3.61)

- для балки жесткости при ее изгибе – по формуле (3.41).

Cуммируя величины и учитывая, что
составляет наибольшую часть величины можно записать

, (3.62)

где корректирующий коэффициент, пределы изменения которого можно принять с запасом от 1,0 до 1,20.

Определение аналогично рассмотренному выше для трехпролетной распорной системы с неразрезной балкой [формулы (3.43), (3.44)]. Далее находятся линии влияния натяжения кабеля, т. е. сжимающего усилия в балке.

Расчеты характеристик линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил неразрезной балки жесткости производятся также по аналогии с рассмотренными выше для распорной системы.

Другая особенность системы с воспринятым распором заключается в том, что распор от равномерного изменения температуры для всех элементов системы равен нулю. При разнице температур между балкой и кабелем распор определится по формуле

, (3.63)

где a = 0,000012 град^–1; t = ±10…15 °С; – осевые усилия в кабеле, подвесках, оттяжках, пилонах; – длины указанных элементов системы; – значение по формуле (3.62).

Равномерная нагрузка от , передаваемая через подвески на балку жесткости, составит

. (3.64)

Используя расчетную схему балки, соответствующую рис. 3.10, б, при замене нагрузки q на , найдем изгибающие моменты в балке от , используя выражения (3.38), (3.39), (3.40). Тогда

- изгибающий момент в опорных сечениях

; (3.65)

- изгибающий момент в произвольном сечении среднего пролета

; (3.66)

- изгибающий момент в произвольном сечении крайних пролетов

. (3.67)

Следует иметь в виду, что совместное воздействие временной нагрузки и температуры учитывается коэффициентами сочетания нагрузок
= 0,8 и = 0,7, т. е. имеют место условия:

; .

Прогибы неразрезной балки можно определить по линии влияния.

Пусть точка А находится в среднем пролете. Отделяем средний пролет балки жесткости сечением на опоре от боковых пролетов и освобождаем от действия кабеля, т.е. рассматриваем простую разрезную балку длиной (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Схема к определению прогибов в балке-аналоге

На изолированную балку оказываются следующие воздействия:

- от временной нагрузки n в пределах пролета ;

- от опорных моментов m ₁ и m ₂, возникающих в системе от нагрузки n;

- от распора кабеля в виде нагрузки .

Каждое из этих воздействий вызывает тот или иной прогиб. Суммируя их, можно получить искомую величину прогиба.

Ордината прогиба точки А от действия распора Н, вызываемого грузом Р = 1, стоящим в точке i, равна ординате линии влияния распора, взятой под грузом, умноженной на ординату линии влияния распора, взятую под точкой А. Последняя ордината есть прогиб точки А от
Н = 1, если ее умножить на которая находится по (3.62), тогда

Для точки А величина в скобках – постоянная. Значит линия влияния прогиба от Н изображается линией влияния Н, но со своим масштабом.

Для прогибов балки от действия опорных моментов используются следующие формулы:

- от действия m ₁ = 1 на левой средней опоре прогиб в левом пролете:

где сечение задается от левой опоры крайнего пролета;

- прогиб в среднем пролете

где сечение задается от правой опоры среднего пролета.

В этих формулах: – величина крайнего пролета, а величина среднего пролета выражена зависимостью .

Действие момента m ₂ = 1 на правой средней опоре симметрично прогибу балки от действия m ₁ = 1. От распределенной нагрузки n, одинаковой для трех пролетов, и при имеем

Для вертикальной нагрузки линия влияния прогиба для случая, когда выразится уравнениями упругой линии при нахождении груза Р = 1 на расстоянии а от левой опоры и в – от правой:

- от левой опоры до

;

- от Р = 1 до правой опоры

Определив площади и знаки линий влияния прогибов от соответствующих воздействий и произведя их загружение и суммирование, получим значения прогибов в рассматриваемых сечениях балки жесткости.

3.3.4. Приближенный расчет висячих систем
по деформированной схеме

При выводе формул для расчета висячих систем с балкой жесткости не учитывались изменения размеров висячей системы от влияния деформаций, обусловленных временной нагрузкой. При малой высоте балки жесткости деформации получаются значительными, а их влияние на усилия в элементах висячего моста становится ощутимым. Уточненный расчет, учитывающий влияние деформаций кабеля, показывает, что изгибающие моменты в балке оказываются меньшими, чем при расчете без учета деформаций.

На практике реализуется несколько подходов, связанных с приближенным расчетом висячих систем по деформированной схеме.

В качестве одного из них используется способ, основанный на применении корректирующих коэффициентов, учитывающих геометрическую нелинейность в работе висячих систем под нагрузкой. Эти коэффициенты вида вводятся к усилиям и прогибам балки жесткости для однопролетных висячих систем, полученным при их расчете по недеформированной схеме. Эти же коэффициенты можно использовать и для трехпролетных висячих систем с балкой жесткости (распорных и безраспорных) в центральном пролете.

В общем виде усилие (прогиб) при учете деформаций системы получит следующее выражение

. (3.68)

Величина корректирующих коэффициентов определяется по графикам (см. рис. 3.3) в зависимости от значений коэффициента Д [формула (3.7)]. При выражении коэффициента деформативности в виде

(3.69)

корректирующие коэффициенты принимаются по графикам (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Кривые поправочных коэффициентов К_Д:
1 – для изгибающих моментов в четверти пролета;
2 – то же для середины пролета; 3 – для поперечной силы в опорном сечении балки; 4 – для прогиба в четверти пролета

Корректирующий коэффициент для распора имеет выражение

, (3.70)

где – провис кабеля в середине пролета от временной нагрузки, определяемый по формуле (3.9) для гибких висячих систем.

Для систем с балкой жесткости корректирующий коэффициент, учитывающий уменьшение распора за счет деформации кабеля и связанного с этим изгиба балки, определяется из условия , где – параметр, определяемый по формулам: