.
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде
Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t0, причем x(t0) = x0, y(t0) = y0.
Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t0 и ее производная вычисляется по формуле
| (1) |
Доказательство. Так как функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t = t0, то их приращения Δx и Δy, соответствующее приращению аргумента Δt, представимы в виде:
| (2) |
где α1 и β1 — бесконечно малые функции при Δt → 0.
Так как функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0), где x0 = x(t0), y0 = y(t0), то ее приращение Δz, соответствующее приращениям аргументов Δx и Δy, представимо в виде
| (3) |
где α и β — бесконечно малые функции при Δx → 0, Δy → 0.
Из дифференцируемости функций x(t), y(t) в точке t0 следует их непрерывность в этой точке, т.е. Δx → 0, Δy → 0 при Δt → 0. Поэтому α → 0 и β → 0 при Δt → 0.
Подставляя выражения (2) в формулу (3), получаем
| (4) |
Здесь
|
— бесконечно малая функция при Δt → 0.
Обозначив в (4) выражение в скобках буквой A (A не зависит от Δt), получаем
|
т.е. приращение Δz представлено как сумма линейной части приращения Δt и бесконечно малой более высокого порядка, чем Δt. Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции z = f(x(t), y(t)) в точке t = t0 и формула (1) для dz / dt в этой точке. Теорема доказана.
Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например:
Теорема 2. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(u, v) и y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u0, v0), причем x(u0, v0) = x0, y(u0, v0) = y0.
Тогда сложная функция z = f(x(u, v), y(u, v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u0, v0) и ее частные производные вычисляются по формулам
| (5) |
| (6) |
(Все производные в этих формулах вычисляются в соответствующих точках.)
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 134.)
Инвариантность формы полного дифференциала
Пусть функция z = f(x, y), где x и y — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке (x0, y0). Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой
|
где dx = Δx и dy = Δy — приращения независимых переменных x и y.
Пусть теперь x и y — не независимые переменные, а функции x = x(u, v) и y = y(u, v), дифференцируемые в точке (u0, v0). Тогда по теореме 2 сложная функция z = f(x(u, v), y(u,v)) переменных u и vдифференцируема в точке (u0, v0). Следовательно, ее дифференциал определяется формулой
|
Подставляя сюда
∂z |
∂u |
(u0, v0) и
∂z |
∂v |
(u0, v0), определяемые формулами (5) и (6), и выполняя простые преобразования, получаем
|
|
Таким образом, дифференциал функции z = f(x, y), когда x и y являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции z = f(x,y), когда x и y — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Следует однако иметь в виду, что в случае независимых переменных x и y их дифференциалы dx и dy совпадают с приращениями Δx и Δy. В случае, когда x и y сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями Δx и Δy, а являются лишь их линейными частями.
Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.
¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾
Теорема. Пусть функция является обратной для функции . Если существует отличная от нуля производная функции по переменной x, то существует и производная обратной функции по переменной y. При этом
Доказательство. По определению производной
Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях, является непрерывной функцией и, следовательно, при ∆ x → 0. Тогда
что влечет за собой доказываемое утверждение.
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.
Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:
Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.
Отсюда видно, что искомая производная равна