Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y = f (x), нужно написать уравнение касательной в точке x 0. Из определения производной:

y /(x)=limΔ x →0Δ x Δ y

Δ y = f (x +Δ x)− f (x).

Уравнение касательной к графику функции: y = kx + b (k, b = const). Из геометрического смысла производной: f /(x 0)= tg α= k

Т.к. x 0 и f (x 0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y − f (x 0)= f /(x 0)(x − x 0), или

y = f /(x 0)· x + f (x 0)− f /(x 0)· x 0.

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tg β= tg (2π−α)= ctg α=1 tg α=1 f /(x 0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tg β1= tg (π−β)=− tg β=−1 f /(x).

Точка (x 0, f (x 0))∈ нормали, уравнение примет вид:

y − f (x 0)=−1 f /(x 0)(x − x 0).

Производная данная параметрически:

dy\dx=y’\x’