Определение и виды матриц, операции над матрицами

Числовой матрицей или просто матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Горизонтальные ряды матрицы называются строками, а вертикальные – столбцами, а сами числа – элементами матрицы.

В общем случае, элементами матрицы могут быть различные математические объекты: числа, функции, многочлены и т.д. Однако, в нашем курсе будут рассматриваться только числовые матрицы, т.е. матрицы, у которых элементами являются числа.

Если матрица содержит m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность m на n и записывают в виде m х n.

Записывают матрицы в круглых скобках, не ставя между элементами никаких знаков. При необходимости за матрицей, внизу справа пишется ее размерность. Например,

- матрица размерности 2х3.

Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются соответствующие маленькие буквы с двойной нумерацией, например, а_ij, где i – номер строки, а j – номер столбца данного элемента. Например,

- матрица размерности m x n.

Для матриц одинаковой размерности существует понятие равенства.

Две матрицы А и В одной размерности называются равными, если у них равны соответствующие элементы, т.е. a_ij = b_ij, для i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Рассмотрим, какие бывают матрицы.

Матрица называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю. Например, А = .

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например, А = .

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например, А = .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк, а, следовательно, и число столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Например, А = - квадратная матрица третьего порядка.

Элементы квадратной матрицы, для которых i = j называются диагональными и образуют главную диагональ. Таким образом, главная диагональ состоит из элементов, образующих диагональную линию, идущую из левого верхнего угла в правый нижний угол квадратной матрицы. Элементы, стоящие на диагональной линии, идущей из правого верхнего угла в левый нижний, образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется матрицей треугольного вида, если все ее элементы, расположенные под (или над) одной из диагоналей, равны нулю. Например, А = .

Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной. Например, А = .

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, называется единичной. Обозначение Е = .

Над матрицами, как и над числами можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны числовым операциям, а некоторые носят особый характер.

В основе изучения операций над матрицами лежит определенное ранее понятие равенства матриц.