Умножение матриц

Произведение матриц имеет место только для матриц определенных размерностей. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. если А имеет размерность m x k, то матрица В должна иметь размерность k x n. Произведением будет матрица размерности m x n, т.е.

Это условие связано с правилом перемножения матриц, которое ясно видно из следующего определения.

Произведением матрицы А _mxk на матрицу В _kxn называется матрица размерности m x n, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

A B C

Именно для того, чтобы можно было бы составить такую сумму и требуется равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй.

Например, .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. Однако для произведения матриц практически все основные свойства не выполняются в общем случае. Например, для произвольных матриц АВ ¹ ВА. Так как возможно, что произведение АВ существует, а произведение ВА не имеет смысла, либо, если и то и другое произведение существует, то полученные матрицы могут быть разных размерностей, но даже, если с размерностями будет все в порядке, в общем случае не будет выполняться равенство соответствующих элементов матриц АВ и ВА.

Например, пусть А = и В = . Тогда АВ = , а ВА = , т.е. АВ ¹ ВА.

Однако существует матрица, для которой переместительный закон будет выполняться. Если матрица А – квадратная матрица порядка n и Е - единичная матрица того же порядка, то АЕ = ЕА = А. Доказать это равенство можно простым перемножением матриц. Кроме единичной существуют и другие матрицы, для которых переместительный закон будет выполняться. Их называют перестановочными.

Например, перестановочными матрицами будут матрицы А = и В = . Для них АВ = ВА = .