Решение СЛАУ методом Крамера

Понятие определителя может быть применено для решения СЛАУ.

Пусть дана СЛАУ, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Обозначим через А матрицу системы, т. е.:

А = .

Теорема Крамера. Пусть D = | А |, а D _j – определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам х_j = для j = 1, 2, …, n.

Замечание. Справедливы следующие утверждения:

1) если D=0 и хотя бы один из D _j не равен нулю, то система решений не имеет;

2) если D=0 и все D _j также равны нулю, то система либо не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнений, применяя теорему Крамера:

.

Решение. Вычислим основной определитель системы D:

, следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем D₁, D₂ и D₃, получим:

Отсюда х ₁ = = 4; х ₂ = = 2; х ₃ = =1, т. е. решением системы являются числа х ₁ = 4; х ₂ = 2; х ₃ = 1.

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений, применяя теорему Крамера:

1) 2) 3)

Пример. Определить количество решений системы линейных алгебраических уравнений с помощью теоремы Крамера и замечаний к ней (само решение находить не нужно):

.

Решение. Определитель системы:

.

Найдем D₁:

.

По замечанию к теореме Крамера рассматриваемая система решений не имеет.

5. Определить количество решений системы линейных алгебраических уравнений с помощью теоремы Крамера и замечаний к ней (само решение находить не нужно):

1) 2) 3)