2015-04-23
882
Если степенной ряд сходится в точке 
, то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда 
, чем 
. Если же ряд расходится при 
, то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках.
Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, ряд сходится абсолютно и расходится при всех , для которых 
.
Число 
называется радиусом сходимости ряда 
, а интервал 
– интервалом сходимости.
В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае 
) или может превращаться в точку (в этом случае 
). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.
Если для степенного ряда существует 
, то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле
Рассмотрим способы определения области сходимости степенного ряда на примерах.
Пример 20. Найти интервал сходимости степенного ряда 
.
