2015-04-30
438
1.7.1 Предположим необходимо создать фильтр, который пропускает сигналы в полосе частот от нуля до частоты среза 
(
) (рис. 1.9). Идеальную прямоугольную характеристику квадрата модуля функции передачи создать невозможно. Необходимо заменить (аппроксимировать) идеальную характеристику какой-то характеристикой отвечающей УФР. Попробуем решить задачу для фильтра, квадрат модуля функции передачи которого описывается выражением:
(1.24)
Чтобы найти функцию передачи и проверить отвечает ли она УФР заменим частотную переменную в соотношении (1.24) 
или 
и получим аналитическое продолжение функции квадрата модуля 
:
(1.25)
Для того чтобы найти полюсы функции приравняем нулю знаменатель выражения (1.25):
- для n – нечетных 
или 
; (1.26)
- для n – четных 
или 
; (1.27)
Например, для n = 3 из соотношения (1.26) получаем при k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 шесть корней (полюсов) функции , которые располагаются в комплексной плоскости на окружности с радиусом равным единице (рис. 1.10).
Рис. 1.10
Условиям физической реализуемости отвечают только три полюса:
|
|
|
Запишем функцию передачи третьего порядка, используя эти три полюса:
. (1.28)
Используя соотношения (1.26), (1.27) легко определить полюсы и записать функции передачи фильтра любого порядка. Например, опуская промежуточные выкладки, запишем функцию передачи фильтра шестого порядка (n = 6):
(1,29)
Таким образом, знаменатель функции передачи может быть записан как полином порядка n или как произведение полиномов второго и первого порядка.
Чтобы найти структуру фильтра и рассчитать его элементы необходимо определить по найденной функции передачи (1.28) функцию его входного сопротивления. Для этого воспользуемся соотношением [1]:
(1.30)
где 
, Г (j W) — коэффициент отражения на входных зажимах фильтра, Z ВХ(j W) — входное сопротивление фильтра.
Физическое содержание соотношения (1.30) заключается в том, что сумма проходящей в нагрузку (первое слагаемое) и отраженной (второе слагаемое) нормированных мощностей всегда равна единице. Следовательно, зная одну величину всегда можно определить другую. Используя (1.24) и (1.30) запишем:
(1.31)
Или ее аналитическое продолжение
(1.32)
Сопоставляя соотношения (1.24) и (1.31) убеждаемся, что полюсы функций передачи и коэффициента отражения совпадают. Все нули функции коэффициента отражения расположены в нуле. Следовательно, функцию коэффициента отражения, соответствующую соотношению (1.28) можно записать в виде:
(1.33)
Используя определение коэффициента отражения, запишем функцию входного сопротивления фильтра:
(1.34)
Учитывая, что для нормированных фильтров сопротивления нагрузки и генератора равны единице запишем функцию входного сопротивления для двух знаков числителя (1.33):
|
|
|
(1.35)
и 
(1.36)
Соотношения (1.35), (1.36) описывают дуальные цепи, поэтому достаточно показать реализацию одного из них, например (1.35).
Проанализируем поведение (1.35) при частоте s стремящейся к бесконечности. Для этого поделим числитель и знаменатель (1.35) на s 3 и найдем предел этого отношения:
(1.37)
Следовательно, входное сопротивление фильтра, описываемого соотношением (1.35) ведет себя как емкость. Чтобы найти значение этой емкости, инвертируем соотношение (1.35) и приравняем проводимости первого элемента фильтра (емкости 
) и фильтра:
или 
(1.38)
Эти преобразования показаны на рис. 1.11.
Рис. 1.11
Найдем остаточную проводимость Y ОСТ:
(1.39)
Инвертируем соотношение (1.38) и, выполняя действия аналогичные действиям (1.36, 1.37), найдем значение следующего элемента («продольной» индуктивности):
(1.40)
Соответствующие преобразования показаны на рис. 1.12.
Рис. 1.12
Найдем остаточное сопротивление (рис. 1.11):
(1.41)
Соотношение (1.41) описывает сопротивление параллельной цепочки, состоящей из резистора величиной 1 Ом и емкости a3 = 1 (Рис. 1.13).
Рис. 1.13
Фильтр, соответствующий соотношению (1.35), является, как упоминалось дуальным по отношению к фильтру рис. 1.13. Оба фильтра с найденными величинами элементов изображены на рис. 1.14.
Рис. 1.14
