1. Раскрываем статическую неопределимость.
Определяем степень статической неопределимости.
. |
Выбираем основную систему (ОС)
Для получения ОС заданную систему освобождаем от всей нагрузки и связи в точке С. ОС показана на рис. 6б.
Рис. 6
Переходим к эквивалентной системе (ЭС).
Для этого ОС нагружаем заданной нагрузкой и неизвестной силой Xi в точке С. Эквивалентная система показана на рис. 6в.
Записываем каноническое уравнение
Для системы, один раз статически неопределимой, каноническое уравнение имеет вид
. |
Вычисляем коэффициенты уравнения.
Для этого строим грузовую Mp (рис. 6д) и единичную M1 (рис. 6ж). Эпюры Mp и M1 строят по стандартному алгоритму так, как это делали в контрольной работе № 1. Расчетные схемы для их построения даны соответственно на рис. 6г,е. Для вычисления d11 используем формулу (3.3а)
, |
здесь учтено, что результат перемножения эпюры M1 самой на себя на участках I и II равны результату перемножения на участке III.
При вычислении перемножение эпюр Mp и M1 на участках I и III выполнено по формуле (3.3а), на участке II по формуле (3.5).
Решаем каноническое уравнение.
Для этого d11 и сокращаем на общий множитель и подставляем их в исходное уравнение
. |
Откуда .
Строим суммарные эпюры.
Используем традиционный подход. Основную систему нагружаем заданной нагрузкой и найденной реакцией X1 в точке С (рис. 6з). От их совместного действия по стандартному алгоритму (так, как это делали в контрольной работе № 1) строим суммарные эпюры.
Определяем опорные реакции
откуда YB =2 ql.
. |
откуда .
Проверка: .
Реакции определены верно.
Записываем аналитические выражения для определения Q и М.
I участок (0 £ z1 £ )
;
.
II участок (0 £ z2 £ )
;
III участок (0 £ z £ l)
Так как Q на границах участка имеет разные знаки, то на эпюре М, в сечении, где Q = 0, будет экстремум. Определим его:
.
Отсюда . Подставляя значение в выражение М (z 3), получаем:
.
По вычисленным значениям Q и M строим суммарные эпюры (рис. 6и,к).
Деформационная проверка
Берем иную ОС, чем та, с использованием которой выполнялось решение. Для этого в точке В убираем опору. Вместо нее прикладываем единичную вертикальную силу (рис. 6л). От ее действия строим единичную эпюру (рис. 6м).
Перемножаем эпюры и по формуле (3.5)
.
Это показывает, что все действия по построению суммарных эпюр выполнены правильно.
2. Определяем для балки необходимый номер двутавра из условия прочности.
Условие прочности:
, |
где M max – максимальный момент на эпюре Мсум ,, ; Wx – момент сопротивления изгибу относительно оси х.
Из условия прочности определяем необходимый Wx
м3 = 46,8 см3.
По сортаменту подходит двутавр № 12, у которого Wx = 58,4 см3.
3. Определяем для балки необходимый номер двутавра из заданного условия жёсткости.
Условие жёсткости .
Выразим – вертикальное перемещение (прогиб) в точке D. Для этого к основной системе в точке D прикладываем вертикальную единичную силу (рис. 7а). Строим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 7б).
Перемножая эпюры Мсум (рис. 6к) и по формуле (3.5), получаем выражение для .
Подставляя найденное выражение для в условие жесткости, получим
.
Отсюда минимальное значение Iх для балки
м4 = 868 см4.
По сортаменту подходит двутавр № 16 с Iх = 873 см4.
Окончательно для балки из двух найденных двутавров берем больший – двутавр № 16. Для него из таблиц сортамента: Ix = 873 см4, Wx = 109 см3, = 109 см3, d = 5 мм.
4. Проверяем прочность балки по касательным напряжениям.
Условие прочности: .
Qmax = (взято с эпюры Qсум),
b = d.
Тогда
Па =
= 3,57 МПа < [t] = 100 МПа.
Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.