Функция зависимости спроса от дохода

22 23 24 25 26 27 28

Обозначим величину дохода – I, х – величина спроса потребителя на:

а) малоценные товары; б) товары первой необходимости;

в) товары второй необходимости (относительной роскоши);

г) предметы роскоши.

График следующий: х

а) г)

б) в)

Этапы исследования функции.

Областью определения функции называется совокупность всех значений –х, для которых функция у – определена.

Пример. Найти область определения 2

у = 4 – х.

2 2

Эта функция имеет смысл, если (4 – х) >= 0 c x < = 4,

если х < =2, т.е. –2 < = x < = 2 – D(y).

2. Функция у = f(x) называется периодической, если Э число Т такое, что для каждого значения аргумента х имеет место равенство f(x + T) = f(x), T – период этой функции.

Пример периодических функций: у = sinx, y = cosx (для них Т = 2П)

у = tgx, y = ctgx (T = П).

3. Функция f(x) называется четной, если (-х) = f(x) и наоборот, f(x) – нечетная, если f(-x) = - f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала ординат.

2 2 2

у = х – четн., т.к. f(-x) = (-x) = x = f(x).

x - симметрична относительно ОУ

3 2 3

у = х – нечетн., т.к. f(-x) = (-x) = -x = -f(x).

симметрична относительно начала координат

О х

Точки пересечения графика функции с осями координат находятся следующим образом: х = 0 у –?

у = 0 х -?

4. Функция f(x) называется непрерывной при х = х1; если: 1) эта функция определена при х = х1; 2) имеет место равенство lim f(x) = f(x1).

x – x1

5.Точка, в которой, нарушается непрерывность функции называется точкой разрыва.

Пример - у = х – непрерывная функция.

6. Прямая l называется асимптотой линии, если расстояние от точки линии до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

а) прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой у = f(x), если lim f(x) = или lim f(x) = -

х – а х – а

б) прямая у = b является горизонтальной асимптотой кривой у = f(x), существует lim f(x) = b, lim f(x) = -b

х – оо х – оо

в) прямая у = kx + b является наклонной асимптотой кривой у = f(x), если Э

k = lim f(x)/x; b = lim [f(x) – k(x)]

x m oo x m oo 2

Пример. Найти асимптоты функции у = (3 – х) /1 – х, т.к. 1 – х = 0c х = 1 – точка разрыва.

Исследуем функцию вокруг этой точки, т.е. найдем пределы хÒ1 слева и справа. 2

Справа lim (3 – х)/1 – х = -

хÒ1+0 2 c функция имеет бесконечный разрыв

lim (3 – х)/1 – х = - в х = 1cх = 1 – вертик.

хÒ1-0

Ищем наклонную асимптоту в виде у = kx + b

2 2

K = lim f(x)/x = lim (3 – x) /(1 – x) = lim 9 – 6x + x /x – x =

хÒ00 хÒ00 хÒ00

= lim 9/x – 6/x + 1/1/x – 1 = -1

хÒ00

2 2

b = lim (f(x) – kx) = lim ((3 – x) /1 – x + x) = lim 9 – 6x + x + x(1-x)/1 – x = lim 9 – 6x + x/1-x = lim 9/x – 6 + 1/1/x – 1 = lim 9/x – 5/1/x – 1 = 5 c

cy = -x + 5 = 5 – x - наклонная асимптота.

7. Интервалы возрастания и убывания, экстремумы.

Функция у = f(x) называется возрастной, если большему значению аргумента х соответствует большее значение у, и наоборот, меньшему значению х соответствует меньшее значение у.

Убывает, если большее значение х соответствует меньшее значение.

Пример. у = 4х меньшему х соответствует большее.

х1 = 1 у1 = 4

х2 = 2 у2 = 8 c функция возрастает, т.к. x1 < x2, y1 < y2.

Достаточные признаки возрастающей и убывающей функции: если у > 0, то

функция возрастает, если у < 0, функция убывает.

Функция у = f(x) в точке х0 имеет экстремум (max или min), если f(x0) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой двусторонней окрестности этой точки.

Достаточные и необходимые условия экстремумов.

Функция у = f(x) может иметь экстремум только в точке, где у = 0 или не существует. Такие точки называются критическими, в них касательная к графику функции или горизонтальная – / /

у = 0, или вертикальная – (у – не существует).

Если функция у = f(x) непрерывна в точке х0 и имеет в ее окрестности у, то если при переходе через х0:

1) у меняет знак с + на -, то max;

2) у меняет знак с - на +, то min;

3) y не меняет знака, то экстремума нет.

Правило отыскания экстремума:

1) находим критические точки, т.е. у = 0 или Э

2) D(х) критическими точками разбиваем на части, определяем знак у в каждой из частей.

3) делаем вывод.

Пример. 3 2

у = 2х – 3х – 36х + 15.

/ 2

Используя правило, отыскать экстремум: 1)у = 6х – 6х – 36 = 0

2 2

6 (х – х – 6) = 0 х – х – 6 = 0 D = 1 – 4 * 1 *(-6) = 25 > 0.

x1 = 1 + 5/2 = 3 x2 = 1 – 5/2 = -2

x1 = 3, x2 = -2 – критические точки.

2. Т.к. D(x) для этой функции вся числовая прямая, то она делится на 3 части: (-; -2) (-2; 3) (3;).

/ 2 Из первой части х = -3 и подставим в у(-3) = 6 (-3) – 6 (-3) – 36 = 54 + 18 – 36 = 36 >

/ 2

y(2) = 6 * 2 – 6 * 2 – 36 = -24 > 0 (2-ая часть)

/ 2

у(5) = 6 * 5 – 6 * 5 – 36 = 94 > 0 (3-я часть).

3. Вывод. В первой части у – положит. Значит (-; -2) функция возрастает; (-2; 3) – убывает; (3;) – возрастает.

Причем при х = -2 – max, x = 3 – min.

Интервалы выпуклости, вогнутость и точки перегиба.

Определение. Кривая называется выпуклой, если она расположена ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала а;b.

График выглядит так:

Аналогично, вогнутая в этом интервале расположена выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции:

- если f (x) < 0 в интервале а;b, то график функции явл. выпуклым в этом интервале;

- если f (x) > 0, то в этом интервале график функции вогнутый.

Определение. Точкой перегиба называется такая точка, линии которой отделяют выпуклую дугу от вогнутой.

Необходимое условие точки перегиба: если х0 – абсцисса точки перегиба, то либо // //

у (х0) = 0, либо у (х0) Э.

Достаточное условие точки перегиба: точка (х0;у0) – точка перегиба линии, если //

f (x) меняет знак при переходе через - х0.

Если с - на +, то справа – вогнут., если с + на -, то справа от х0 интервал выпукл., слева – вогн., если не меняет знак, то точки перегиба нет.

Пример. Дана кривая Гаусса 2

-х 2

у = е. –х /

Найдем точку перегиба – выпуклость, выгнутость. Для начала найдем у =(е)

-x 2 2 2 2 2 2

= -2xe. // -x / / -x -x -x -x -x 2

Найдем ухх = (-2хе) = (-2х) * е + (е) * (-2х) = -2е +(-2хе)(-2х) = -2е (1 – 2х).

2 2

// -x 2 -x 2 2 2

Zxx = 0 c-2e (1 – 2x) = 0, -2e = 0 или 1- 2х = 0, 1 = 2х, х = ½,

-x

e = 0 х =m 1/ 2.

+ - +

-1/ 2 1/ 2

2 2 2

// -x 2 // -(-1) 2 // -(0) 2

у = -2е (1-2х), у (-1) = -2е (1- 2 (-1)) > 0, y (0) = 2e (1-2 * 0) < 0,

// -(1) 2

y (1) = -2e (1 – 2 * 1) > 0.

Так как вторая производная в 1-м и 3-м положит., а во втором отриц., значит

(-; -1/ 2) – вогнут. (-1/ 2; 1/ 2) – выпукл. (1/ 2;) – вогнут.

х1 = -1/ 2 - точки перегиба.

х2 = 1/ 2 2

-(-1/ 2) -1/2

При х1 = -1/ 2 c у = е = е = 1 / 2 c А (-1 / 2; 1 / е).

-(-1/ 2) -1/2

При х2 = -1/ 2 c у = е = е = 1/ е c В(-1/ 2; 1/ е).

А В

-1 1

Построение графика. Схема построения графика функции:

Найти D(x) – область определения.

Найти четные, нечетные, периодические функции.

Найти точки пересечения графика с осями координат.

Исследовать функцию на непр-ть; найти точки разрыва, если - Э.

Найти асимптоты кривой.

Вычислить интервалы возрастания и убывания, экстремумы.

Вычислить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Построить график.

Пример. Построить график функции у = (3 – х) /1 – х

1. D(x) - (-; 1) U (1;).

2 2 2

2. у(-х) = (3 –(-х)) /1-(-х) = (3 + х) /1 + х = (- (-3 – х)) /-(-1 – х) =

2 2

= (-3 – х) /-(-1 – х) = (-(3 + х)) /-(-1 – х) - ни четн., ни нечетн., т.к. функция не тригонометрична, значит не периодичная.

3. 2

х = 0 c у -? (3 – 0) /(1 – 0) = 9

х = 0 c у = 9 2

у = 0 c х -? 0 = (3 – х) /1 – х 3 – х = 0 х = 3 у = 0 c х – 3.

4. Так как при х = 1 функция теряет смысл, значит она является точкой разрыва.

2 2

lim (3 – x)/1 – x = - lim (3 – x)/1 – x =

хÒ1+0 хÒ1- 0

Значит в точке х = 1 функция имеет разрыв, т.е. прямая х – 1 вертик.

5. Накл. асимптота: у = kx + b;

2 2

k = lim [f(x)/ x] = lim (3 – x)/1 – x: x/1 = lim 9 – 6x + x /x – x =

хÒ00 хÒ00 хÒ00

=lim 9/x – 6/x + 1/1/x – 1 = -1.

хÒ00

2 2

b = lim [f(x) – kx] = lim [(3 – x)/1 – x – (-1)x] = lim [9 – 6x + x + x (1 – x)/1 – x]

хÒ00 хÒ00 хÒ00

= lim 9 – 5x/1 – x = lim 9/x – 5/1/x – 1 = 5

хÒ00 хÒ00

y = 5 – x - накл. асимптота.

/ 2 / 2 / / 2 2

6. у = ((3 – х)/1 – х) = [(3 – х)] * (1 – х) – (1 – х) * (3 – х)/(1 – х) =

2 / 2 2 2 2

= (9 – 6х + х) * (1 – х) + (3 – х)/(1 – х) = (-6 + 2х) * (1 – х) + (3 – х)/(1 – х) =

2 2 2 2

= -6 + 6х + 2х – 2х + 9 – 6х + х/(1 – х) = -х + 2х + 3/(1 – х) = 0;

x + 2x + 3 = 0

D = 4 – 4 (-1) * 3 = 16 > 0

x1 = -2 + 4/-2 = 3…

// 2 / 2 3

…7. у = (3 + 2х – х) / (1 – х) = 8/(1 – х) = 0, х = 1

// 3 // 3

у (-1) = 8 /(1 –(-1)) > 0 y (2) = 8/ (1 – 2) < 0

c(-; 1) - вогнут.

+ - (-1;) – выпукл.

х = 1 – точка перегиба.

8. x = -1

y(-1) = (3 - (-1))/1- (-1) = 16/2 = 8

min x = 3

y(3) = (3 - 3)/1 – 3 = 0

y = 5 – x – накл. асимптота

5 – 3 = 2, 5 – (-1) = 6

max

Перечень основных понятий: Производная функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Функция спроса и предложения. Функция зависимости спроса от дохода. Четная функция f(x). Интервалы возрастания и убывания, экстремумы. Интервалы выпуклости, вогнутость и точки перегиба. Выпуклая кривая. Точка перегиба.

Ключевые моменты: Производная функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Метод множителей Лагранжа. Задачи экономического содержания. Примеры функции в экономическом моделировании. Функция спроса и предложения. Функция зависимости спроса от дохода. Этапы исследования функции. Исследование функции. Четная функция f(x). Интервалы возрастания и убывания, экстремумы. Достаточные и необходимые условия экстремумов. Правило отыскания экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутость и точки перегиба. Выпуклая кривая. Точка перегиба.

Вопросы к самопроверке:

1. Производная функции нескольких переменных.

2. Частные производные высших порядков.

3. Метод множителей Лагранжа. Задачи экономического содержания.

4. Примеры функции в экономическом моделировании.

5. Функция спроса и предложения.

6. Функция зависимости спроса от дохода

7. Этапы исследования функции. Исследование функции. Четная функция f(x).

8. Интервалы возрастания и убывания, экстремумы.

9. Достаточные и необходимые условия экстремумов. Правило отыскания экстремума.

10. Интервалы выпуклости, вогнутость и точки перегиба. Выпуклая кривая. Точка перегиба.

Рекомендуемая литература: