Теоретическое введение. Наличие в R-L-C контуре переменной Э.Д.С

Наличие в R-L-C контуре переменной Э.Д.С. или внешнего напряжения приведет к возникновению вынужденных колебаний.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора, катушки и резистора. Если включить в эту цепь последовательно с элементами цепи переменную ЭДС (переменное напряжение U = U₀ cos wt от генератора Г) (Рис.14.1), то в такой цепи при частоте внешней ЭДС, близкой к частоте w собственных колебаний цепи, возникает резонанс напряжений - напряжение на емкости U_C и напряжение на индуктивности U_L равны по величине и противоположны по фазе.

Рис. 14.1

На рис.14.1 в контур подается переменное напряжение U = U₀ cos wt от генератора Г.

Из закона Ома

I R = -q/c – L dI/dt + U₀ coswt, (14.1)

учитывая, что I = , и разделив на L, получим:

d²q/dt² + 2bdq/dt + w₀²q = coswt. (14.2)

При этом w₀² и 2b имеют тот же смысл, что и для затухающих колебаний (cм. лаб. раб. №13). Используя сведения о вынужденных колебаниях и метод векторных диаграмм, изложенные выше, имеем:

q = q₀ соs(wt - j), (14.3)

где амплитудное значение заряда и сдвиг фаз между колебаниями заряда в контуре и колебаниями внешнего напряжения равны (см. Введение и рис.5а,б):

q₀ = (U₀ /L) / (, (14.4)

tgj = (2bw) / (w₀²- w²). (14.5)

Подставив в ур.(14.4) и (14.5) значения w₀² и b, выразим q₀ и tgj через параметры R, L, C:

, (14.6)

. (14.7)

Продифференцировав (14.3) по времени, для силы тока имеем:

I = I₀ cos (wt - j + p/2) (14.8)

Из ур-ний (14.3) и (14.8) видно, что сдвиг фаз между приложенным внешним напряжением и напряжением на конденсаторе U_C= , т.е. j, а также между U и током (j^* = j - p/2) зависят от соотношения между величинами wL и 1/wC. Запишем tgj^* в виде

. (14.9)

Таким образом, получаем: j^* > 0, т.е. ток отстает по фазе от внешнего напряжения U, если wL>1/wC, и опережает напряжение j^*<0, если wL<1/wC. При этом амплитудное значение силы тока

I₀ = wq₀ = (14.10)

Перегруппировав члены в ур.(14.1), запишем его как

U_R + U_C + U_L = U₀ coswt. (14.11)

Ур.(14.11) отражает тот факт, что в любой момент времени сумма напряжений на отдельных элементах цепи равна внешнему напряжению U₀coswt. В соответствии с предыдущим:

U_R = R I₀ cos (wt - j^*), (14.12)

U_C = (q₀/C) cos (wt - j) = U_C0 cos (wt - j) = U_C0 cos (wt - j^* - p/2), (14.13)

где

U_C0 = q ₀/C = , (14.14)

U_L = L dI/dt = -w L I₀ sin (wt- j^*) = U_L0 cos (wt - j^* + p/2), (14.15)

U_L0 = w L I_o. (14.16)

Сопоставление формул (14.8) и (14.12)-(14.15) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на p/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на p/2. Т.о. в такой цепи при частоте внешней ЭДС, равной частоте w₀, напряжение на емкости U_C и напряжение на индуктивности U_L равны по величине и противоположны по фазе, т.е. возникает резонанс напряжений.

Напряжение на активном сопротивлении по фазе совпадает с током.

С учетом фазовых соотношений построим фазовую диаграмму для ур.(14.11) – рис.14.2.

Рис. 14.2.

Из прямоугольного треугольника (рис.14.2) имеем

= (wL – 1/wC)² I₀² + I₀² R². (14.17)

Откуда

I₀= (14.18)

Это выражение совпадает с ур.(14.10), полученным выше.

Выражение в знаменателе является модулем полного сопротивления цепи. Полное сопротивление цепи Z называется импедансом

|Z| = .

Резонансная частота колебаний для заряда q и напряжения U_C равна

. (14.19)

Рис. 14.3а, б

Резонансные кривые для U_C и q (рис.14.3а) сходны с подобными кривыми для механических колебаний (Введение, рис.6). Отрезок, отсекаемый на оси ординат, соответствует напряжению на конденсаторе после подключения его к источнику постоянного напряжения.

Резонансные кривые для силы тока представлены на рис.14.3б для b₂>b₁.

Максимальное значение силы тока в отличие от (14.19) всегда (при любом R) соответствует частоте

w₀ = 1/ . (14.20)

Это с очевидностью вытекает из ур.(14.10)

Так как I₀ = I_0max при (wL – 1/wC) = 0, то w_р = 1/ .

Величина активного сопротивления R (т.е. затухание) здесь не влияет на значение резонансной частоты, но, как и в других случаях (например, для заряда), определяет величину резонансной амплитуды: из ур-ний (14.10) и (14.18) видно, что I_0Р = U₀/R. Обратите внимание, что резонансные кривые выходят из начала координат – в цепи постоянного тока (w = 0), содержащей конденсатор, ток отсутствует.