Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов. 25

Эконометрическая модель оперирует со случайными переменными. Это приводит к тому, что наличие случайных переменных в правой части влияет на левую (левая часть приобретает случайный характер).

Т.к. случайная величина характеризуется присущим ей законом распределения (для непрерывных случайных величин - это функция монотонности), закон распределения случайных величин содержит параметры.

III этап – это их (параметров) оценка (приближённое вычисление)

Рассматриваем эконометрическую модель в виде изолированного уравнения:

Спецификация (5.1) содержит k экзогенных переменных (регрессоров), тогда значение случайного возмущения:

Параметры любого закона распределения и его количественные характеристики – это const, но оценки этих параметров и их количественных характеристик есть величины случайные

К оценкам параметров предъявляется 2 основных требования:

ü несмещённость

ü эффективность

Оценка параметров закона распределения называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает со значением параметра:

На практике можно предложить множество процедур расчёта несмещённых оценок параметров.

Пример:

Пусть рассматривается некоторая случайная переменная величина x c известным законом распределения. Необходимо подобрать процедуру среднего значения этой величины.

Есть выборка из двух наблюдений Х:

Для элемента выборки должны выполняться условия:

1) все элементы выборки независимые случайные величины

2) все элементы выборки имеют одинаковый закон распределения, совпадающий с законом распределения самой случайной величины

Известно, что

Найдём альтернативные процедуры, которые также помогут получить несмещённые оценки среднего значения.

Пусть такая процедура выглядит

Математическое ожидание такой оценки с учётом статистических свойств выборки равно:

Отсюда видно, что математические ожидания случайной величины х и z (среднее значение), полученное по формулам (5.4) и (5.6), будут совпадать, когда

Мы получим бесконечно количество процедур, которое обеспечивает несмещённые оценки среднего значения

Наилучшую процедуру оценки показывает минимальная дисперсия оценки.

Эффективной среди всех несмещённых оценок называется та, которая имеет минимальную дисперсию (σ→min)(выбирается та процедура, которая даёт минимальный разброс значения оценки).

Найдём, при каких значениях дисперсия выражения (5.5) будет минимальной