Автокорреляционная функция и коррелограмма

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.
Количественно ее можно найти с помощью коэффициента корреляции между уровнями начального временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов по времени.

Определим коэффициент корреляции между рядами уt и yt-1. Формула для расчета коэффициента корреляции можно представить в виде:

Эта величина - коэффициент автокорреляции первого порядка, так как он определяет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1

Аналогично определяют коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.

Число периодов, по которым определяется коэффициент автокорреляции, называют лаг автокорреляции. С ростом лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается что лаг должен определяться отношением n/4 - количество наблюдений деленных на 4.

В обработке сигналов автокорреляционная функция (АКФ) определяется интегралом:

и показывает связь сигнала (функции) с копией самого себя, смещённого на величину τ.

Свойства коэффициента автокорреляции

По коэффициенту автокорреляции судят о наличии линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (степенную функцию или экспоненту), коэффициент автокорреляции может быть меньше 0,7.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать судить о возрастающем или убывающем направлении связи в ряду.