Автокорреляция случайного возмущения

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значения во всех других наблюдениях, т. е. . Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. В этом случае коэффициенты регрессии, получаемые по МНК, оказываются неэффективными, а их стандартные ошибки занижаются.

Заметим, что необходимым условием независимости является некоррелированность случайных членов для каждых двух соседних значений,

т. е. .

Поскольку значения случайных членов неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков и . Оценкой коэффи-циента корреляции является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка , .

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле

. (3.2.1)

Поскольку коэффициент корреляции принимает значения , то для значений статистики DW выполняется неравенство .

Если автокорреляция остатков отсутствует (r = 0), то .

При положительной автокорреляции (r > 0) имеем 0 ≤ DW < 2, а при отрицательной (r < 0) – 2 < DW ≤ 4.

Вычисленное значение критерия Дарбина-Уотсона сравнивается с нижней (d_н) и верхней (d_в) границами критического значения . Границы d_н и d_в выбираются из таблиц статистики Дарбина-Уотсона (см. Приложение) для заданного числа наблюдений , числа объясняющих переменных и уровня значимости. Множество возможных значений статистики DW (отрезок [0; 4]) разбивается на пять зон. В зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу.

0 d_н d_в 2 4-d_в 4-d_н 4

Область Зона Область принятия Зона Область отклонения H₀неопределенности гипотезы неопределенности отклонения H₀

Рис. 3.2.1. Множество возможных значений статистики DW

Если DW < d_н и DW>4-d_н, то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

если d_в<DW<4-d_в, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию;

если d_н<DW<d_в и 4-d_в<DW<4-d_н, то значение критерия лежит в области неопределенности и для проверки адекватности следует использовать дополнительный критерий.

Пример 3.2.1

Для данных примера 3.1.1 вычислить значение статистики Дарбина-Уотсона и на ее основе проанализировать наличие автокорреляции.

Решение. Чтобы проверить возмущения регрессии на автокорреляцию, вычислим значение статистики DW по формуле (3.2.1). Знаменатель формулы представляет собой сумму квадратов остатков регрессии – ESS, значение которой уже вычислено: ESS =90,24. Вычисление суммы, стоящей в числителе, представим в виде таблицы 3.2.1.

Таблица 3.2.1

№ п.п.	y_i		e_i		№ п.п.	y_i		e_i
		9,315	1,685	–		12,3	14,886	-2,586	6,470
	11,5	10,186	1,314	0,137		13,6	15,373	-1,773	0,660
		10,464	1,536	0,049		11,8	15,756	-3,956	4,765
	11,1	11,265	-0,165	2,893		21,5	16,487	5,013	80,440
	13,5	13,354	0,146	0,097		18,5	16,800	1,7	10,978
	10,1	14,398	-4,298	19,753			17,775	2,225	0,276
	12,4	14,538	-2,138	4,669		18,2	18,193	0,007	4,919
	14,6	14,642	-0,042	4,391		20,5	19,168	1,332	1,756

Вычисленное значение статистики Дарбина-Уотсона:

Значения границ критического значения статистики для n=16, m=1, : d_н= 1,106, d_в = 1,371. Поскольку DW<d_н – значение статистики попадает в первую зону, что означает наличие автокорреляции в возмущениях.