Непротиворечивость системы аксиом

Система аксиом называется непротиворечивой или совместной, если в теории Т_∑ этой системы невозможно доказать какое-нибудь утверждение А и его отрицание ùА. В противном случае система аксиом называется противоречивой.

Теория Т_∑ , содержащая вместе с некоторым утверждением АÎТ_∑ и отрицание этого утверждения ùАÎТ_∑ называется не классической теорией. С точки зрения "здравого смысла" такая теория абсурдна, так как в мире "реальных вещей" некоторое свойство А "выражает" отношение этих реальных вещей и не может одновременно "не выражать" это отношение.

Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на непосредственном определении совместности, затруднительна. Действительно, пусть мы доказали утверждения А₁,А₂,...,А_n теории Т _∑ и пусть отрицание этих свойств ùА₁,..., ùА_n невозможны в Т _∑. Где гарантия, что не найдется свойство А_n+1, которое доказуемо вместе со своим отрицанием ùА_n+1 в теории Т _∑? Такой гарантии нет, поскольку перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [10], основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить на непротиворечивость все эти 20000 утверждений, составляющий предмет геометрической теории Т _∑ ={ А₁,А₂,...,А₂₀₀₀₀ }.

Мы уже говорили, что с точки зрения здравого смысла, противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда, легко получаем следующее достаточное условие совместности.

Система аксиом Т совместна или непротиворечива, если существует хотя бы одна реализация R(T) этой системы.

Доказательство. Пусть Т А и Т ùА. Тогда реализация R(T) содержит свойство А и его отрицание, что невозможно в непротиворечивой реализации.