Независимость аксиомы параллельности

Напомним, что планиметрия строится на системе 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2.,§2). Пусть Т={T₁,...,T₁₄} – система аксиом без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R₁(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модель R²- арифметической евклидовой плоскости: R²= R₁(T,П). В качестве реализаций R₂(T,ùП) возьмем модель Пуанкаре L₂= R₂(T,ùП). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R₁(T,П) и R₂(T,ùП), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии.

Замечание 1.

Доказательство независимости всех аксиом евклидовой геометрии можно найти, например, в [7], [8].

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.

Для структуры ∑{T, Ð,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М, см п.6.1-6.2., §6). Любое высказывание "и"ÎИ обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории Т _∑, обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "и"ÎИ опровержимо в системе Т _∑, обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "и"ÎИ является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры∑_Т, есть сумма непересекающихся классов: