Обобщенный метод наименьших квадратов. При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (метод OLD – Ordinary Least Squares)

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (метод OLD – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом GLS(Generalized Least Squares). Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Суть метода заключается в том, что подбираются коэффициенты К_i, такие, что σ²_ei =σ² ·К_i,

где σ²_ei – дисперсия ошибки при конкретном i–ом значении фактора;

σ² – постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о

гомоскедастичности остатков;

К_i – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением

величины фактора.

Уравнение парной регрессии при этом принимает вид

у _i/ = a₀/ + a₁ х _i/ +e_i.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляют собой взвешенную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами 1/ . Аналогичный подход применяют и для множественной регрессии, уравнение с преобразованными переменными принимает вид

у / =a₀/ +a₁ х ₁/ +a₂ х ₂/ +…+a_m х _m/ +e. (15)

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности К. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки e_i пропорциональны значениям фактора. Пусть, например, у – издержки производства, х ₁ – объем продукции, х ₂ – основные производственные фонды, х ₃ – численность работников, тогда уравнение у =a₀ +a₁ х ₁ +a₂ х ₂ + a₃ х ₃ +e является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что σ²_ei пропорциональна квадрату численности работников (т.е. = х ₃), получим в качестве результативного признака затраты на одного работника (у / х ₃), а в качестве факторов производительность труда (х ₁/ х ₃) и фондовооруженность труда (х ₂/ х ₃). Соответственно трансформированная модель примет вид

у / х ₃ =a₃ +a₁ х ₁/ х ₃ +a₂ х ₂/ х ₃ +e,

где вычисленные параметры a₃, a₁, a₂ численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее изменение издержек производства с изменением абсолютного значения соответствующего фактора на единицу, они фиксируют теперь среднее изменение затрат на работника в зависимости от изменения производительности труда на единицу; и в зависимости от изменения фондовооруженности труда на единицу.

Если же предположить, что в первоначальной модели дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, получаем уравнение регрессии

у / х ₁ =a₁ +a₂ х ₂/ х ₁ +a₃ х ₃/ х ₁ +e,

где у / х ₁ – затраты на единицу продукции, х ₂/ х ₁ – фондоемкость продукции, х ₃/ х ₁ – трудоемкость продукции.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки.