Средняя ошибка аппроксимации

Фактические значения результирующей переменной Y отличаются, как правило, от значений , рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе расчетные значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результирующей переменной по каждому наблюдению представляет собой абсолютную, а – относительную ошибку аппроксимации.

Чтобы иметь общее представление о качестве модели, из относительных ошибок по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку аппроксимации

. (4.15)

Если средняя ошибка аппроксимации находится в пределах 5¸7%, то это свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Пример 4.3. По данным примера 4.1 с помощью коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации сравнить полулогарифмическую и гиперболическую модели регрессии и выбрать наилучшую.

Решение. Для удобства вычислений составляем вспомогательные таблицы (табл. 4.2 и табл. 4.3).

Таблица 4.2

Полулогарифмическая регрессия y ^* = 9,871 + 5,1335×ln x

i	xi	yi	yi *	yi – yi *	|(yi – yi *)/ yi |×100	(yi – yi *)2
		10,0	9,871	0,129	1,29	0,017	0,25
		13,4	13,429	–0,029	0,22	0,001	4,41
		15,4	15,511	–0,111	0,72	0,012	0,01
		16,5	16,987	–0,487	2,95	0,237	1,00
		18,6	18,133	0,467	2,51	0,218	9,61
		19,1	19,069	0,031	0,16	0,001	12,96
S		93,0	93,0	0,0	7,85	0,486	28,23

По формулам (4.14) и (4.15) находим соответственно коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации:

.

Полученные значения коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации указывают на хорошее качество уравнения полулогарифмической регрессии.

Таблица 4.3

Гиперболическая регрессия

i	xi	yi	yi *	yi – yi *	|(yi – yi *)/ yi |×100	(yi – yi *)2
		10,0	9,43	0,57	5,7	0,325	0,25
		13,4	14,56	–1,16	0,87	1,346	4,41
		15,4	16,28	–0,88	5,71	0,774	0,01
		16,5	17,12	–0,62	3,75	0,384	1,00
		18,6	17,63	0,97	5,21	0,941	9,61
		19,1	17,97	1,13	5,92	1,277	12,96
S		93,0	93,0	0,0	21,95	5,047	28,23

Привлекая снова формулы (4.14) и (4.15), находим соответственно коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации:

.

Значения коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации указывают на достаточно хорошее качество уравнения гиперболической регрессии, хотя его качество уступает полулогарифмической регрессии. g

Контрольные вопросы

1. Какие регрессионные модели называются нелинейными: а) по

переменным; б) по параметрам?

2. Как оцениваются параметры моделей: а) нелинейных по переменным,

но линейных по параметрам; б) нелинейных по параметрам?

3. Сохраняются ли свойства МНК-оценок (теорема Гаусса-Маркова) для

оценок параметров линеаризированных моделей?

4. Можно ли использовать коэффициент детерминации для оценки

качества нелинейной модели?

5. Будет ли для нелинейной парной модели коэффициент детерминации

совпадать с квадратом коэффициента корреляции?

6. В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?