Часть I. а) Построим диаграмму рассеивания по исходным данным

а) Построим диаграмму рассеивания по исходным данным:

По полученному полю корреляции достаточно сложно судить о наличии определенной связи между х и у. Можно выдвинуть гипотезу как о наличии линейной связи, так и обратной, степенной, показательной, полулогарифмической или гиперболической. Поэтому рассчитаем параметры регрессий, а затем выберем лучшую модель и по ней сделаем прогноз.

а) Рассмотрим линейную регрессию.

Составим исходную расчетную таблицу.

№ п/п	Ср. з/п и соц.выплаты (тыс. руб.)	Потреб.расходы (тыс. руб.)
					320,716569	-38,7	1497,69	13,72928	-93,1176	8670,896
					323,028615	16,9	285,61	4,991584	-35,1176	1233,249
					317,2485	-27,3	745,29	9,396035	-85,1176	7245,014
					366,186803	28,8	829,44	7,29448	19,88235	395,308
					413,969084	18,1	327,61	4,173823	56,88235	3235,602
					406,647605	75,3	5670,09	15,63328	106,8824	11423,84
					350,773165	-15,8	249,64	4,708407	-40,1176	1609,426
					372,352259	23,6	556,96	5,971652	20,88235	436,0727
					428,2267	52,8	2787,84	10,97158	105,8824	11211,07
					329,579411	53,4	2851,56	13,94793	7,882353	62,13149
					332,276798	-134,2	18009,64	67,81656	-177,118	31370,66
					472,926252	-30,9	954,81	6,99689	66,88235	4473,249
					449,420453	-101,4	10281,96	29,14381	-27,1176	735,3668
					427,456018	-48,4	2342,56	12,78523	3,882353	15,07266
					323,799297	-1,8	3,24	0,558788	-53,1176	2821,484
					363,489417	-29,5	870,25	8,829167	-41,1176	1690,661
					378,903055	159,1	25312,81	29,57192	162,8824	26530,66
Итого								246,5204		113159,8
Ср.зн.	695,1765	375,1176	147369,7	9,59				14,5012

Функция потребительских расходов выразится зависимостью: .

Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК):

(1)

Решив систему, находим b=0,385341; a=107,23767

Уравнение регрессии будет иметь вид: = 107,23767+0,385341 x

Затем, подставляя различные значения из столбца 2, получим теоретические значения

Коэффициент аппроксимации определим по формуле:

Средняя ошибка аппроксимации:

Допустимый предел значений - не более 8-10 %. Так как =14,5% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем общую сумму квадратов.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции . Найдем его по формуле r_xy₌ ₌

Коэффициент . Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:

Диапазон измерения	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характер тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Следовательно, связь прямая, заметная.

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью критерия Фишера по формуле: F=

а) Степенная функция:

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения .

Пусть , тогда

Все необходимые расчеты представлены в таблице 4.

Таблица 4

№ п/п	x	y	X	Y	XY	X²	Y²				A_i
			6,317165	5,641907	35,64086	39,90657	31,83112	308,2437	-26,2437	688,7294	9,30626
			6,327937	5,828946	36,8852	40,04278	33,97661	310,9393	29,06066	844,5218	8,547252
			6,300786	5,669881	35,72471	39,6999	32,14755	304,1896	-14,1896	201,3446	4,892963
			6,510258	5,978886	38,92409	42,38346	35,74707	360,3126	34,68739	1203,215	8,781618
			6,679599	6,068426	40,53465	44,61705	36,82579	413,1677	18,83228	354,6548	4,359324
			6,65544	6,177944	41,11694	44,29489	38,16699	405,1776	76,82238	5901,678	15,93825
			6,448889	5,814131	37,49468	41,58817	33,80411	342,8751	-7,87511	62,01736	2,350779
			6,533789	5,981414	39,0813	42,6904	35,77732	367,2314	28,76859	827,6319	7,264796
			6,725034	6,175867	41,53292	45,22608	38,14134	428,6236	52,37638	2743,285	10,88906
			6,357842	5,948035	37,81667	40,42216	35,37912	318,5473	64,45267	4154,147	16,82837
			6,369901	5,288267	33,68574	40,57564	27,96577	321,6675	-123,667	15293,65	62,45833
			6,855409	6,09131	41,75842	46,99663	37,10406	476,2601	-34,2601	1173,751	7,751143
			6,788972	5,852202	39,73044	46,09014	34,24827	451,3584	-103,358	10682,95	29,70068
			6,72263	5,937536	39,91586	45,19375	35,25434	427,7916	-48,7916	2380,618	12,87377
			6,331502	5,774552	36,56158	40,08792	33,34545	311,8367	10,16333	103,2932	3,156312
			6,499787	5,811141	37,77118	42,24723	33,76936	357,2757	-23,2757	541,7599	6,968784
			6,558198	6,287859	41,23702	43,00996	39,53717	374,5489	163,4511	26716,25	30,38124
Итого			110,9831	100,3283	655,4122	725,0727	593,0214	6280,047	96,95317	73873,5	242,4489
Средн.зн.	695,1765	375,1176	6,52842	5,901665	38,55366	42,65134	34,88361				14,2617

Рассчитываем A и b по формулам:

0,80832

Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение:

Потенцируя которое, получим:

=1,8674988*

По этому уравнению заполняется вторая половина таблицы.

Так как =14,26% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции . Следовательно, связь заметная.

б) Уравнение гиперболы:

Линеаризуется при замене , тогда

Все необходимые расчеты представим в таблице 5.

Таблица 5

№ п/п	x	y							A_i
			0,001805	0,509025	0,0000032	309,2963	-27,2962	745,0874	9,679535
			0,001786	0,607143	0,0000032	313,258	26,742	715,1346	7,865294
			0,001835	0,53211	0.0000034	303,1902	-13,1901	173,9805	4,548334
			0,001488	0,587798	0.0000022	374,2243	20,7757	431,6295	5,259669
			0,001256	0,542714	0.0000016	421,7106	10,2893	105,8712	2,3818
			0,001287	0,620335	0.0000017	415,4178	66,5822	4433,195	13,81374
			0,001582	0,530063	0.0000025	354,9312	-19,9311	397,2516	5,949603
			0,001453	0,575581	0.0000021	381,3134	14,6865	215,6959	3,708734
			0,0012	0,577431	0.0000014	433,1413	47,8587	2290,453	9,949828
			0,001733	0,663778	0.000003	324,0354	58,9645	3476,823	15,39546
			0,001712	0,339041	0.0000029	328,2908	-130,290	16975,69	65,80343
			0,001054	0,465753	0.0000011	463,2004	-21,2004	449,4579	4,796476
			0,001126	0,391892	0.0000013	448,3725	-100,372	10074,64	28,84268
			0,001203	0,456077	0.0000014	432,5495	-53,5494	2867,546	14,12915
			0,001779	0,572954	0.0000032	314,5598	7,44022	55,35701	2,31063
			0,001504	0,502256	0.0000023	371,0156	-37,0155	1370,151	11,0825
			0,001418	0,763121	0.000002	388,493	149,507	22352,34	27,7894
Сумма			0,025223	9,237071	0.000039			67130,3	233,3063
Ср. знач.	695,1765	375,1176	0,001484	0,543357	0.0000023				13,7239

Найдем параметры и , используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Таким образом, получили систему уравнений:

Отсюда, a =679,05584; b =-204846,7914

Итак, получим уравнение:

Так как =13,72% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции . Следовательно, связь заметная.

в) Обратная функция:

Линеаризуется при замене тогда:

Все необходимые расчеты представим в таблице 6.

Таблица 6

№ п/п	x	y	х²						A_i
				0,003546	1,964539	305,7695713	-23,7696	564,9925	8,428926
				0,002941	1,647059	307,5935017	32,4065	1050,181	9,531323
				0,003448	1,87931	303,0738757	-13,0739	170,9262	4,508233
				0,002532	1,701266	346,1347678	48,86523	2387,811	12,37094
				0,002315	1,842593	401,8861329	30,11387	906,845	6,970803
				0,002075	1,612033	392,2065414	89,79346	8062,865	18,62935
				0,002985	1,886567	331,3087768	3,691223	13,62513	1,101858
				0,002525	1,737374	352,4434733	43,55653	1897,171	10,99912
				0,002079	1,731809	422,1762286	58,82377	3460,236	12,22947
				0,002611	1,506527	312,8815028	70,1185	4916,604	18,3077
				0,005051	2,949495	315,1121385	-117,112	13715,25	59,14754
				0,002262	2,147059	501,5661905	-59,5662	3548,131	13,47651
				0,002874	2,551724	456,4306674	-108,431	11757,21	31,15824
				0,002639	2,192612	421,0272299	-42,0272	1766,288	11,08898
				0,003106	1,745342	308,2063236	13,79368	190,2655	4,28375
				0,002994	1,991018	343,4451767	-9,44518	89,21136	2,827897
				0,001859	1,310409	359,4034243	178,5966	31896,74	33,19639
Сумма				0,04784	32,39674	6180,665523	196,3345	86394,35	258,257
Ср. знач.	695,1765	375,1176		0,002814	1,90569				15,19159

Найдем параметры и , используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Таким образом, получили систему уравнений:

Найдем параметры: а=0,005061023;b=-0.0000032

Итак, получим уравнение:

Так как =15,19% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции . Следовательно, связь умеренная.

г) Полулогарифмическая функция:

Линеаризуется при замене тогда:

Все необходимые расчеты представим в таблице 7.

Таблица 7

№ п/п	x	y	X	X²	yX				A_i
			6,317165	39,90657	1781,44	314,805	-32,805	1076,169	11,63298
			6,327937	40,04278	2151,499	317,8804	22,119	489,2762	6,505762
			6,300786	39,6999	1827,228	310,1289	-20,129	405,1724	6,940998
			6,510258	42,38346	2571,552	369,9326	25,067	628,3745	6,346177
			6,679599	44,61705	2885,587	418,2788	13,721	188,2702	3,176194
			6,65544	44,29489	3207,922	411,3816	70,619	4986,962	14,65113
			6,448889	41,58817	2160,378	352,412	-17,412	303,1768	5,197604
			6,533789	42,6904	2587,38	376,6505	19,349	374,404	4,886243
			6,725034	45,22608	3234,741	431,2502	49,749	2475,04	10,34299
			6,357842	40,42216	2435,054	326,4183	56,582	3201,486	14,77328
			6,369901	40,57564	1261,24	329,861	-131,86	17387,34	66,59649
			6,855409	46,99663	3030,091	468,4719	-26,472	700,7611	5,989116
			6,788972	46,09014	2362,562	449,5043	-101,51	10303,13	29,16791
			6,72263	45,19375	2547,877	430,5639	-51,563	2658,839	13,60526
			6,331502	40,08792	2038,744	318,8982	3,1017	9,62101	0,963284
			6,499787	42,24723	2170,929	366,9431	-32,943	1085,246	9,863197
			6,558198	43,00996	3528,31	383,6192	154,381	23833,45	28,69532
Сумма			110,9831	725,0727	41782,53			70106,71	239,3339
Ср. знач.	695,1765	375,1176	6,52842	42,65134	2457,796				14,07847

Найдем параметры a и b, используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Таким образом, получили систему уравнений:

Найдем параметры: а= -1488,7242; b= 285,49663

Получим уравнение:

Так как =14,08% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции . Следовательно, связь заметная.

д) Показательная функция:

Линеаризуется при логарифмировании обеих частей уравнения:

; тогда: Y=A+Bx

Все необходимые расчеты представим в таблице 8.

Таблица 8

№ п/п	x	y	х²	Y	Y²	Yx				A_i
				5,641907	31,83112	3125,616517	313,3346393	-31,33463932	981,8596215	11,11157423
				5,828946	33,97661	3264,209546	315,3981354	24,60186455	605,2517394	7,235842515
				5,669881	32,14755	3090,085103	310,2646808	-20,26468085	410,6572898	6,987820982
				5,978886	35,74707	4017,811234	356,5105795	38,48942052	1481,435492	9,744157093
				6,068426	36,82579	4830,466768	408,3073029	23,69269709	561,3438955	5,484420623
				6,177944	38,16699	4800,262577	399,9078151	82,09218485	6739,126814	17,03157362
				5,814131	33,80411	3674,530496	341,2460806	-6,246080559	39,01352234	1,864501659
				5,981414	35,77732	4115,212977	362,8058843	33,19411572	1101,849319	8,382352455
				6,175867	38,14134	5144,497436	425,173846	55,826154	3116,55947	11,60626902
				5,948035	35,37912	3432,016189	321,318803	61,68119702	3804,570066	16,10475118
				5,288267	27,96577	3088,347946	323,7889114	-125,7889114	15822,85024	63,52975324
				6,09131	37,10406	5780,653078	482,7033548	-40,7033548	1656,763092	9,208903801
				5,852202	34,24827	5196,755802	451,5419177	-103,5419177	10720,92873	29,75342464
				5,937536	35,25434	4934,092586	424,2445815	-45,24458145	2047,072151	11,93788429
				5,774552	33,34545	3245,297969	316,0889829	5,911017058	34,94012266	1,835719583
				5,811141	33,76936	3864,40876	353,7908452	-19,79084523	391,677555	5,925402764
				6,287859	39,53717	4432,940285	369,6164921	168,3835079	28353,00572	31,29804979
Сумма				100,3283	593,0214	70037,20527	6276,042853	100,9571473	77868,90484	249,0424015
Ср. знач.	695,1765	375,1176		5,901665	34,88361	4119,835604			4580,523814	14,64955303

Найдем параметры A и B по формулам:

0,001094

= 0,001094

Получено линейное уравнение: 0,001094x

Произведем потенцирование полученного уравнения:

Так как =14,65% ‒ это говорит о том, что уравнение регрессии не достаточно точно аппроксимирует исходную зависимость, т.е. уравнение регрессии имеет невысокую точность.

Найдем коэффициент детерминации по формуле: R²=

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции . Следовательно, связь заметная.

Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 9.

Таблица 9

Вид регрессии	Формула для расчета	Значение ср. коэффициента эластичности
Линейная		0,714122563
Степенная		0,808320703
Гиперболическая		0,766593837
Показательная		0,760469875
Обратная		0,798426689
Полулогарифмическая		0,752072754

Для сравнения полученных уравнений регрессии построим таблицу.

Таблица 10

Вид регрессии	,	R², r²			F
Линейная	0,5914	0,3498	14,5012	0,7141	8,06966
Степенная	0,5892	0,3472	14,2617	0,8083	7,9771	73873,5
Гиперболическая	0,63778	0,4068	13,7239	0,7666	10,285	67130,3
Полулогарифмическая	0,61682	0,38046	14,0785	0,75207	9,2116	70106,71
Показательная	0,55845	0,31187	14,6496	0,76046	6,798	77868,9
Обратная	0,48634	0,2365	15,1916	0,79843	4,6471	86394,35

Для всех моделей , следовательно, все модели являются адекватными.

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент детерминации наибольший для гиперболической регрессии, но наилучшим уравнением регрессии будет являться линейная функция, так как она проще и для нее выполняется:

Поскольку наилучшей является линейная модель, то нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Для линейной модели построим таблицу дисперсионного анализа (таблица 11).

Таблица 11

Источники вариации	Число степеней свободы	квадр. отклонений.	Дисперсия на 1 степ. свободы.	F отн
Факт	табл. (0,05)
общая	n-1=16	113159,7647		8,06966	4,54
объясненная	m=1	39582,76471	39582,76471
остаточная	n-m-1=15		4905,133333

F_табл определяем в зависимости от уровня значимости (α = 0,05) и числа степеней свободы остаточной дисперсии (df=15). F_табл=4,54

F-тест состоит в проверке гипотезы Н_оо статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи r_ху.

Т.к. F_факт >F_табл (10,285>4,54), то гипотеза Н_о о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается значимость и надежность гипотезы H₁.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки. Определим случайные ошибки mb, ma, mr по формулам:

где

Тогда:

2,839349089

Найдем табличное значение критерия Стьюдента t _табл=2,1315

Таким образом, значит, параметры b, r являются статистически значимыми.

Рассчитаем доверительные интервалы для b, r. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

0,443776936

Доверительные интервалы:

b_min=0,38534097- 1

b_max=0,38534097+

т.е.

r_min=0,591435031-0,443776936=0,147658095

r_max=0,591435031+0,443776936=1,035211967 (округляем)=1,000

т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры b, r, находясь в указанных интервалах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистическими незначимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для получения прогноза. Если прогнозное значение средней заработной платы и выплат социального характера составит 743,839 тыс. руб., тогда прогнозное значение потребительских расходов в расчете на душу населения составит:

= 107,23767+0,385341*743,839=393,869

Рассчитаем ошибку прогноза для уравнения по формуле: