Тема: Модель множественной регрессии

Цель: Построение уравнения множественной регрессии и оценка ее параметров.

Пример [1] (для сокращения объема вычислений ограничимся только десятью наблюдениями). Пусть имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего y (т), мощности пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

Таблица 1

№

Предполагая, что между переменными y, , существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнение регрессии y, по и .

Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу ():

Таблица 2

№
										5,13	0,016
										8,79	1,464
										9,64	0,127
										5,98	1,038
										5,86	0,741
										6,23	0,052
										6,35	0,121
										5,61	0,377
										5,13	0,762
										9,28	1,631
Сумма											6,329
Среднее значение	9,4	6,3	6,8	90,8	41,7	49,6	60,3	66,4	44,5	–	–
	2,44	2,01	3,36	–	–	–	–	–	–	–	–
	1,56	1,42	1,83	–	–	–	–	–	–	–	–

Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

Откуда получаем, что , , . Т.е. получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1 м добыча угля на одного рабочего y, увеличится в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ (при неизменном ) на 1% – в среднем на 0,367 т.

Найдем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

при этом стандартизованные коэффициенты регрессии будут

,

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что мощность пласта оказывает большее влияние на сменную добычу угля, чем уровень механизации работ.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности (3.11):

.

Вычисляем:

, .

Т.е. увеличение только мощности пласта (от своего среднего значения) или только уровня механизации работ на 1% увеличивает в среднем сменную добычу угля на 1,18% или 0,34% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора , чем фактора .

Оценим качество уравнения. Сначала найдем значения парных коэффициентов корреляции:

;

;

.

Значения парных коэффициентов корреляции указывают на достаточно тесную связь сменной добычи угля на одного рабочего y с мощностью пласта и на умеренную связь с уровнем механизации работ . В то же время межфакторная связь не очень сильная (), что говорит о том, что оба фактора являются информативными, т.е. и , и необходимо включить в модель.

Теперь рассчитаем совокупный коэффициент корреляции . Для этого сначала найдем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:

,

и определитель матрицы межфакторной корреляции:

.

Тогда коэффициент множественной корреляции по формуле (3.16):

.

Т.е. можно сказать, что 81,7% (коэффициент детерминации ) вариации результата объясняется вариацией представленных в уравнении признаков, что указывает на весьма тесную связь признаков с результатом.

Примерно тот же результат (различия связаны с ошибками округлений) для коэффициента множественной регрессии получим, если воспользуемся формулами (3.12) и (3.15):

;

.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

указывает на умеренную связь между результатом и признаками. Это связано с малым количеством наблюдений.

Теперь найдем частные коэффициенты корреляции по формулам (3.18а) и (3.19а):

;

.

;

.

Т.е. можно сделать вывод, что фактор оказывает более сильное влияние на результат, чем признак .

Оценим надежность уравнения регрессии в целом и показателя связи с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия (3.22)

.

Табличное значение F -критерия при пятипроцентном уровне значимости (, , ): . Так как , то уравнение признается статистически значимым.

Оценим целесообразность включения фактора после фактора и после с помощью частного F -критерия Фишера (3.23а):

;

.

Табличное значение частного F -критерия при пятипроцентном уровне значимости (, , ): . Так как , а , то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора , после того, как уже введен фактор , нецелесообразно.

Уравнение регрессии, включающее только один значимый аргумент :

.

1-вариант

№	у	х1	х2	х1*х1	х2*х2	х1*х2	х1*у	х2*у	Ух-расч	эпсилон	у*у
		3,6		12,9600		32,40	21,60		5,52	0,48
		3,6		12,9600		43,20	21,60		5,82	0,18
		3,9		15,2100		54,60	23,40		6,35	-0,35
		4,1		16,8100		69,70	28,70		8,327	-1,327
		3,9		15,2100		70,20	27,30		6,75	0,25
		4,5		20,2500		85,50	31,50		7,51	-0,51
		5,3		28,0900		100,70	42,40		8,39	-0,39
		5,3		28,0900		100,70	42,40		8,39	-0,39
		5,6		31,3600		112,00	50,40		8,82	0,18
		6,8		46,2400		142,80	68,00		10,24	-0,24
		6,3		39,6900		132,30	56,70		9,69	-0,69
		6,4		40,9600		140,80	70,40		9,9	1,1
				49,0000		168,00	77,00		10,76	0,24
		7,5		56,2500		187,50	90,00		11,41	0,59
		7,9		62,4100		221,20	94,80		12,15	-0,15
		8,2		67,2400		246,00	106,60		12,68	0,32
				64,0000		240,00	104,00		12,46	0,54
		8,6		73,9600		266,60	111,80		13,22	-0,22
		9,5		90,2500		313,50	133,00		14,41	-0,41
				81,0000		324,00	126,00		14,16	-0,16
Сумма				851,9400		3051,7	1327,6
Сред.зн.	9,8	6,25	22,4	42,5970	550,7	152,59	66,38	238,1			103,7
	a=0,66	b1=1,1	b2=0,1	Yx-расч=0,66+1,1*х1+0,1*х2	0,66	1,1	0,1
Сигма кв	7,66	3,535	48,94
сигма	2,7676	1,88	6,996

2-вариант

№	у	х1	х2	х1*х1	х2*х2	х1*х2	х1*у	х2*у	Ух-расч.	эпсилон	у*у
		3,5		12,25					5,295	0,705
		3,6		12,96		43,2	21,6		5,962	0,038
		3,9		15,21		58,5	27,3		7,003	-0,003
		4,1		16,81		69,7	28,7		7,697	-0,697
		4,2		17,64		75,6	29,4		8,044	-1,044
		4,5		20,25		85,5			8,445	-0,445
		5,3		28,09		100,7	42,4		8,661	-0,661
		5,3		28,09			47,7		8,981	0,019
		5,6		31,36			50,4		9,062	-0,062
									9,49	0,51
		6,3		39,69		132,3			9,571	0,429
		6,4		40,96		140,8	70,4		9,918	1,082
									9,918	1,082
		7,5		56,25		187,5			11,175	0,825
		7,9		62,41		221,2	94,8		12,243	-0,243
		8,2		67,24			106,6		12,964	0,036
		8,4		70,56		260,4	109,2		13,338	-0,338
		8,6		73,96		266,6	120,4		13,392	0,608
		9,5		90,25		332,5			14,915	-0,915
									15,37	-0,37
Сумма		125,8		868,98		3120,5	1378,9
Сред. зн.	10,1	6,29	22,65	43,449	562,55	156,03	68,945	247,7			109,7
	а=1,15	в1=0,27	в2=0,32	Ухрасч=1,15+0,27*х1+0,32*х2	1,15	0,27	0,32
сигма кв.	7,69	3,8849	49,528
сигма	2,77308	1,97101	7,0376

3-вариант

№	у	х1	х2	х1*х1	х2*х2	х1*х2	х1*у	х2*у	Ух-расч.	эпсилон	y*y
		3,7		13,69		33,3	25,9		6,556	0,444
		3,7		13,69		40,7	25,9		6,816	0,184
		3,9		15,21		42,9	27,3		6,972	0,028
		4,1		16,81		61,5	28,7		7,648	-0,648
		4,2		17,64		71,4	33,6		7,986	0,014
		4,9		24,01		93,1	39,2		8,792	-0,792
		5,3		28,09		100,7	42,4		9,104	-1,104
		5,1		26,01			45,9		9,078	-0,078
		5,6		31,36					9,468	0,532
		6,1		37,21		128,1			9,988	0,012
		6,3		39,69		138,6	69,3		10,27	0,726
		6,4		40,96		140,8	70,4		10,35	0,648
		7,2		51,84		165,6	79,2		11,10	-0,106
		7,5		56,25		187,5			11,6	0,4
		7,9		62,41		213,3	94,8		12,17	-0,172
		8,1		65,61			105,3		12,71	0,282
		8,4		70,56		260,4	109,2		13,08	-0,082
		8,6		73,96		275,2	111,8		13,36	-0,368
		9,5		90,25		332,5			14,46	-0,46
		9,5		90,25			142,5		14,59	0,41
Сумма				865,5		3084,6	1391,4
Сред.зн	10,3	6,3	22,25	43,275	552,85	154,23	69,57	247,6			112,4
	a=2,5	b1=0,78	b2=0,13	Yxрасч=2,5+0,78*х1+0,13*х2	2,5	0,78	0,13
сигма кв	6,31	3,585	57,788
сигма	2,51197	1,89341	7,6018