Лекция 6. Системы счисления

Как только люди стали общаться, т.е. передавать информацию, они стали считать. Первыми инструментами счета были пальцы рук и простые предметы. Затем расчеты стали фиксировать, что привело к появлению систем счисления.

Система счисления - это свод приемов обозначения и записи чисел при помощи специальных символов - цифр.

Система счисления — это система отображения любого числа с по­мощью ограниченного количества условных знаков, называемых циф­рами.

Сначала люди придумали непозиционные или кодовые системы счисления (IV тысячелетие до н.э.), в которых расположение цифр в числе не имеет значения и для обозначения каждого числа существует свой символ.

Но в непозиционных системах трудно записывать большие числа и выполнять арифметические действия. Более совершенной системой (переходной от непозиционных систем к позиционным) стала - римская (500 лет до н.э.), которая применяется и в наше время. Алфавитом (цифрами) этой системы служат символы:

I (1)

V (5)

X (10)

L (50)

C (100)

D (500)

M (1000)

Здесь уже положение цифры в числе меняет ее значение. Например, в числе IV I отнимается от V, а в числе VI - прибавляется к V. Число 1995 в этой системе запишется так: MCMXCV.

Но и этой системе присущи все недостатки непозиционных систем. Чтобы от них избавиться понадобились позиционные системы.

Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное значение, то такая система счисления называется позиционной.

Количество цифр системы (символов алфавита) называется ее основанием, место цифры в числе - разрядом, а количество цифр в числе - его разрядностью.

Индо-арабская десятичная система (VI в.) наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз.
Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду этой цифры.

Итак, основание системы счисления - это количество цифр (символов алфавита) в ней. Какое число можно принять за основание системы? Любое натуральное, например, 1. В этом случае мы получаем унарную систему счисления, древнейшую в истории культуры счета. В ней для записи чисел применяется только один символ (камешек, палочка, зарубка). Число в ней - это количество таких символов.

Какая разница между числом и количеством? Одно и то же количество может быть выражено разными числами. Числа записываются с помощью цифр. Не следует путать понятия: цифра, число, количество. Использовать текстовую информацию позволяет алфавит, а количественную — системы счисления.

Давайте докажем, что цифра — это условный знак для записи чисел. Возьмем число 8 136 547. Теперь представим себе, что цифра 3 обо­значается как Δ, цифра 4 как , цифра 5 как ○, остальные же цифры остались прежними. При таких обозначениях цифр наше число будет выглядеть так:

8 1Δ6○7.

Как вы думаете, изменилось ли количество, которое определяется этим числом? Конечно, нет. Изменился вид самого числа, да и то по­тому, что изменились условные знаки, называемые цифрами.

Трудно определить, сколько всего существует систем счисления. Скорее всего, бесконечное множество. В позиционных системах счисления вес цифры зависит от места (позиции), которую она занимает в числе.

Мы помним, что в записи числа используются позиции (разряды) единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, т. е. число можно пред­ставить в следующем виде:

35 876 = 6*1 + 7*10 + 8*100 + 5*1000 + 3*10 000.

Цифра 5, входящая в число 35 876, обозначает пять тысяч, потому что она находится именно в той позиции, в которой указывается ко­личество тысяч, или, иными словами, именно нахождение в данной позиции определяет ее вес. В числе 68952 тоже есть цифра 5, но ее вес, определяемый позицией в этом числе, составляет пять десятков.

В непозиционных системах счисления такой закономерности нет, т.е. вес цифры не зависит от ее позиции в числе. Классический при­мер непозиционной системы счисления — римская система, которая используется до сих пор, правда в основном для нумерации.

Особый интерес из позиционных систем для нас представляют такие, веса которых являются членами геометрической прогрессии. Рассмотрим несколько рядов чисел:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048...

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6561, 19683, 59045...

1, 4, 16, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262 144...

1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15 625, 78 125, 390 625...

Что общего в этих рядах чисел? Каждое следующее число в них получается из предыдущего путем умножения его на конкретное число. В первом ряду это 2, во втором 3, в третьем 4, в четвертом 5 и т.д.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией, сами чис­ла ряда — это члены геометрической прогрессии, а то число, умножая на которое предыдущий (или n-й) член прогрессии, мы получаем по­следующий, или (п + 1)-й, является знаменателем геометрической прогрессии, обозначим его р.

Давайте теперь представим десятичное число 64572 187 в весовом виде:

64 572 187 = 7*1 + 8*10 + 1*100 + 2*1000 + 7*10000 + 5*100000 + 4* 1000000 + 6*10000000

и в виде таблицы по весам позиций и цифрам в этих позициях:

Вес позиции.....1 10 100 1000 10000 100000 1000000 100000000

Цифра..............7 8 12 7 5 4 6

Видно, что веса привычной нам десятичной системы счисления являются членами геометрической прогрессии, знаменателем такой прогрессии выступает число 10, т.е. р = 10, оно называется основани­ем системы счисления, а сама система называется р-ричной системой счисления.

Запишем теперь число из таблицы с использованием сте­пеней числа 10 — основания десятичной системы счисления:

64572 187 = 7*10⁰ + 8*10¹ + 1*10² + 2*10³ + 7*10⁴ + 5*10⁵ + 4*10⁶ + 6*10⁷. (1)

Теперь попробуем записать представления числа по степеням осно­вания р-ричной системы счисления в общем виде:

(2)

где a_i — цифра, находящаяся в позиции, имеющей вес i = п, п - 1, п - 2,..., 2, 1, 0 соответственно; п, п - 1, п - 2,..., 2, 1, 0 — веса позиций, или степень, в которую возводится р в данной позиции; р — основание системы счисления.

Но ведь число может иметь и дробную часть, а веса позиций в дроб­ной части — числа отрицательные. Рассмотрим пример десятичного дробного числа 0,874562. Веса позиций, если идти от десятичной за­пятой вправо, таковы:

Если использовать десятичные дроби, то веса будут выглядеть следующим образом:

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001,

или то же самое с использованием отрицательных степеней числа 10:

Значит, аналогично записи (1) предложенное дробное число мож­но представить так:

Следовательно, выражение (2) для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, примет следующий вид:

(3)

Мы говорили о том, что любая система счисления использует огра­ниченное число условных знаков — цифр. Оказывается, что количество этих знаков равно основанию системы р. И действительно, в десятич­ной системе их десять, это 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А сколько их долж­но быть, например, в шестеричной системе счисления, т. е. когда р = 6. Цифр будет шесть, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. А в восьмеричной? Восемь, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Сформулируем правило: количество цифр в р-ричной системе счис­ления равно р, причем это цифры от 0 до (р - 1).

Как быть, если основание системы больше 10, например 12 или 16?

В этом случае на помощь приходят буквы латинского алфавита: А, В, С, D и т.д. Правда в этом случае они называются уже не буквами, а цифрами. Итак, основание системы счисления может быть любым, все системы равноправны, но тем не менее мы используем десятичную систему счисления. Причина проста: на руках 10 пальцев — это, на­верное, и есть наш первый «вычислитель».

Особо мы будем еще рассматривать двоичную систему счисления, поскольку она более удобна для использования в компьютерах. Основным элементом, который хранит 1 бит информации в ком­пьютере, является триггер. Для хранения нескольких бит информации используются столько элементов, сколько бит надо хранить. Как пра­вило, эти элементы и есть триггеры, в этом случае они образуют ин­тегральную схему, которая называется регистром.

Если попытаться дать более строгое определение, то регистр — это совокупность эле­ментов, которые могут принимать, хранить и выдавать информацию в компьютере. Регистры играют очень большую роль в работе микропроцессора компьютера и других его частей.

Задание: ответить на вопросы учебника Цв. Стр.54, вопр. 1-5.