Доказательство. Пусть в точке х0производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е

Пусть в точке х ₀производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е.

При при тогда по теореме 2.1 функция убывает в промежутке возрастает в промежутке

т.е. для всех. Это означает, что х ₀ - точка

минимума.

Аналогично доказывается первое утверждение теоремы.

Теорема имеет следующий геометрический смысл: если в точке М ₀(х ₀, ) графика дифференцируемой функции касательная парал­лельна оси Ох, в точках слева от М ₀образует острый угол с осью Ох, в точках справа - тупой, то x ₀ — точка максимума.

Достаточное условие экстремума можно выразить также с по­мощью второй производной.