Уравнений

В наиболее общем виде любое ОДУ n -го порядка можно записать так:

(4.4)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (4.4) можно заменить системой из n уравнений первого порядка путем подстановки y^(m)=y_m [1]:

(4.5)

где к = 1,2,3 ...,n.

Уравнения (4.4) и (4.5) имеют бесчисленное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В пособии рассматриваются задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (4.4) в некоторой точке x₀, должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных в начальной точке:

Для системы ОДУ начальные условия задаются в виде:

. (4.6)

Задача с начальными условиями носит название задачи Коши. К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается найти аналитическое решение через известные функции. Для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических методов. В пособии рассматриваются некоторые численные методы решения задачи Коши. Выбор методов проведен так, чтобы дать понятие о явных и неявных, одношаговых и многошаговых методах, их достоинствах и недостатках.