Метод наименьших квадратов. При проведении экспериментальных исследований опытные данные получаются с определенной погрешностью

При проведении экспериментальных исследований опытные данные получаются с определенной погрешностью. В некоторых из них, в силу их сложности или других причин, погрешности или промахи экспериментатора могут достигать значений, соизмеримых с самой величиной - до единиц или даже десятков процентов. Применять в этом случае один из методов интерполяции невозможно. Как правило, погрешности, кроме систематических (например, прибор во время опыта завышает показания на одно и то же число делений во всех опытах) носят вероятностный характер. Это позволяет найти критерии аппроксимации, которые дают возможность во много раз уменьшить влияние погрешностей на окончательные результаты. Одним них является часто применяемый на практике метод наименьших квадратов (МНК), описываемый ниже [5].

Обозначим узлы исходной таблицы данных через x_i, где - номер узла. Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках . Введем непрерывную функцию для аппроксимации дискретной зависимости . В узлах функции и f(x) будут отличаться на величину . Отклонения могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты всех отклонения по узлам

. (6.15)

Метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума величины Q и получил название метода наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции в виде линейной комбинации базисных функций.

(6.16)

где - базисные функции; ; - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q.

Известно, что минимум функции характеризуется равенством нулю первой производной. В нашем случае для поиска коэффициентов необходимо приравнивать к нулю частные производные от Q по коэффициентам

(6.17)

Из системы линейных уравнений (6.17) определяются все коэффициенты _. Система (6.17) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы называется матрицей Грама и имеет вид:

. (6.18)

Элементы матрицы Грама есть скалярное произведение базисных функций

; , . (6.19)

Для решения системы (6.17) необходимо сформировать и столбец свободных членов:

, (6.20)

где элементы столбца - тоже скалярные произведения:

, . (6.21)

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f(x), таких как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, наличие асимптоты и т. д.

Рассмотрим два распространенных способа выбора базисных функций - степенной базис и линейный вариант МНК.