Задача интерполяции

Пусть функция задана таблицей своих значений на интервале :

, , Задача интерполяции - найти функцию , принимающую в точках те же значения . Условие интерполяции:
При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых. Точки называют узлами интерполяции.Если ищется только на отрезке - то это задача интерполяции, а если за пределами первоначального отрезка, то это задача экстраполяции.

• Интерполяция – определение промежуточных значений функции по известному дискретному набору значений функции.
• Экстраполяция – определение значений функции за пределами первоначально известного интервала.
• Аппроксимация – определение в явном виде параметров функции, описывающей распределение точек.

Задача нахождения интерполяционной функции имеет много решений, так как через заданные точки можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами: , При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом. Другая форма записи интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями. Пусть функция задана с произвольным шагом и точки таблицы значений занумерованы в произвольном порядке.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:

Разделенные разности второго порядка определяются через разделенные разности первого порядка:

Разделенные разности k -го порядка определяются через разделенную разность порядка :

(3.16)

Используя понятие разделенной разности интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:

(3.17)

За точностью расчета можно следить по убыванию членов суммы (3.17). Если функция достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство . Это приближенное равенство можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции: .

Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных узлов. При этом для формулы Ньютона безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы, в то время как для формулы Лагранжа при добавлении новых узлов все расчеты надо производить заново.