Этим требованиям отвечает коэффициент вида:
(6.3.2-3)Поскольку в числителе Q0(x) записано произведение разностей со всеми узлами кроме х0, то Q0(x ) обращается в ноль при х = хi; i = 1, 2, …, n. В то же время при х = х0числитель и знаменатель дроби взаимно сокращаются и Q0(x0)=1.
Для того чтобы Ln(x1) = y1, коэффициенты в (6.3.2-2) должны принять значения:
Q1(x1) = 1; Q0(x1) = 0… Qn(x1) = 0.
Чтобы в других узлах коэффициент Q1(x), связанный с yi, принял значение ноль, нужно, чтобы Q1(xi) = 0, i = 0, 2, 3, …, n. Тогда произведение разностей в числителе обращается в ноль во всех узлах, кроме х1, а при х = х1 коэффициент равен 1.
Обобщая сказанное выше, получим выражение для Qi(x):
(6.3.2-4)
Для интерполяционного многочлена Лагранжа это выражение будет следующее:
. (6.3.2-5)
Несмотря на громоздкость (6.3.2-5), одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. Для этого следует учесть следующее правило: формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице; каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение yi; числитель коэффициента при yi содержит произведение разностей х со всеми узлами кроме а знаменатель повторяет числитель при х = .
|
|
Используя приведенные правила, получим формулы Лагранжа для двух узлов ( n=1 ) - линейная интерполяция:
для трех узлов ( n=2 ) - квадратичная интерполяция:
Оценку погрешности формулы Лагранжа определяют исходя из приближенного равенства где m – число узлов, используемое в формуле.Для того, чтобы уменьшить погрешность интерполяции, используется прием перенумерации узлов исходной таблицы, последовательно выбирая в качестве х0, , х2 и т.д. узлы, наиболее близко расположенные к искомой точке х, по возможности симметрично относительно точки х0. Такой прием позволяет уменьшить степень интерполяционного полинома для достижения требуемой точности (не использовать все заданные узлы).