Анализ устойчивости САР

Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения САР:

− невозмущенное движение;

− возмущенное движение.

Движение любой СУ описывается с помощью дифференциального уравнения, которое в общем случае описывает 2 режима работы системы: режим установившегося состояния и режим движения.

При этом общее решение в любой системе можно записать в виде:

Вынужденная составляющая определяется входным воздействием на вход СУ. Этого состояния система достигает по окончании переходных процессов.

Переходная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения вида:

Коэффициенты a₀,a₁,…a_n включают в себя параметры системы, изменение любого коэффициента дифференциального уравнения приводит к изменению целого ряда параметров системы.

Решение однородного дифференциального уравнения

где с₁…с_n, постоянные интегрирования, а p₁…p_n корни характеристического уравнения следующего вида:

Характеристическое уравнение представляет собой знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю.

Корни характеристического уравнения могут быть вещественными, комплексно-сопряженными и комплексными, что определяется параметрами системы.

1)

отрицательная вещественная часть,

затухающий процесс, устойчивая система.

2)

положительные вещественные корни,

незатухающий процесс, неустойчивая система.

3)

корни комплексно-сопряженные

с отрицательной вещественной

частью, затухающие гармонические

колебания, система устойчива.

4)

корни комплексно-сопряженные

с положительной вещественной

частью, неустойчивая система.

5)

комплексные корни (чисто мнимые),

монотонный колебательный процесс,

гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой, система на границе устойчивости.

Вывод:Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива.

Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным.

Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения

Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости, а правую – областью неустойчивого движения.

Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости.

Вывод:Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить.

Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 2 типа границ устойчивости линейных систем:

1. Апериодическая граница устойчивости, которой соответствует нулевой корень р=0, появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. Система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение.

2. Колебательная граница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни, при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.

В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем.