2015-05-10
409
5.4. Доказать, что порядок элемента прямого произведения конечных групп равен наименьшему общему кратному порядков сомножителей.
5.5. Доказать, что если в абелевой группе подгруппы 
и 
имеют взаимно простые порядки, то их сумма является прямой.
5.6. Пусть и - такиеподгруппы группы, что 
, 
, и все элементы подгруппы коммутируют с элементами подгруппы . Доказать, что 
.
5.7. Пусть 
, 
. Доказать, что 
.
5.8. Пусть 
, - нормальная подгруппа в 
, - нормальная подгруппа в 
, 
. Доказать, что 
.
5.9. Пусть 
, - нормальная подгруппа в , - нормальная подгруппа в , 
. Доказать, что 
.
5.10. Доказать, что прямое произведение групп является абелевой группой тогда и только тогда, когда каждая из этих групп абелева.
5.11. Доказать, что центр прямого произведения равен прямому произведению центров сомножителей.
5.12. Найти классы сопряженности прямого произведения групп и , если известны классы сопряженности групп и .
