Задания к лабораторной работе

1. Выписать математическую модель со своими коэффициентами.

2. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

3. Выбрать метод интегрирования дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

4. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

5. Качественно проанализировать результаты моделирования.

6. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

* постановку задачи и описание модели;

* результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

* качественный анализ результатов.

Общие рекомендации

1. При проведении расчетов необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

2. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.

3. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей численности популяций от времени, графики этих зависимостей.

4. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

5. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, масштабами и т.д.).

6. Поскольку таблицы и графики на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Варианты

В вариантах 1 – 4 считать емкость среды K = (R – 1)/a

Вариант 1.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при значениях параметров b, R, N ₀ в зависимости от значения параметра а в диапазоне 0,005 £ а £ 1,

1) b = 1, R = 1, N ₀ = 100

2) b = 1, R = 4, N ₀ = 100

3) b = 4, R = 1, N ₀ = 100

Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения а?

Вариант 2.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при значениях параметров a, R, N ₀ в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0,1 £ b £ 10.

1) a = 1, R = 1, N ₀ = 100

2) a = 1, R = 4, N ₀ = 100

3) a = 3, R = 1, N ₀ = 100

Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения b?

Вариант 3.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при значениях параметров a, b, N ₀ в зависимости от значения параметра R в диапазоне 1 £ R £ 4.

1) a = 3, b = 1, N ₀ = 100

2) a = 3, b = 4, N ₀ = 100

Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения R?

Вариант 4.

Реализовать модель (1) при следующих наборах значений параметров:

1) N ₀ = 100, а = 1, R= 2, b = 1;

2) N ₀ = 100, а = 1, R= 2, b = 4;

3) N ₀ = 100, а = 1, R= 4, b = 3.5;

4) N ₀ = 100, а = 1, R= 4, b = 4.5

и изучить вид соответствующих режимов эволюции.

Вариант 5.

Для модели (1) в фазовой плоскости (b, R) найти границы зон, разделяющих режимы монотонного и колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы.

Вариант 6.

Для модели (1) в фазовой плоскости (b, R) найти границы зон, разделяющих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов.

Вариант 7.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при значениях параметров r ₁=2, r ₂=2, K ₁=200, K ₂=200, Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной численности

Вариант 8.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при значениях параметров r ₁=2, r ₂=2, K ₁=200, K ₂=200, . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции a₁₂ и a ₂₁.

Вариант 9.

Построить в фазовой плоскости () границы зон, разделяющих какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (3)). Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализоваться только при .

Вариант 10.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, q = 2, f = 0,6. Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров N ₀ и C ₀.

Вариант 11.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, q = 2, N ₀ = 100, C ₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра f в диапазоне 0,1£ f £ 2.

Вариант 12.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, f = 2, N ₀ = 100, C ₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра q в диапазоне 0,1£ q £ 2.

Вариант 13.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при значенияхпараметров a = 0,1, f = 2, q = 2, N ₀ = 100, C ₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра r в диапазоне 0,1£ r £ 2.

Вариант 14.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при значенияхпараметров r = 5, q = 2, f = 2, N ₀ = 100, C ₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра a в диапазоне 0,1£ a £ 2.

Вариант 15.

Модель (4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра а. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению (из вар.14)

Вариант 16.

Модель (4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра q. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению (из вар.12)

Вариант 17.

Модель (4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра f. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению (из вар.11)

Вариант 18.

Модель (4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра r. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению (из вар.13)

Вариант 19.

Модель (4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от соотношения значений начальных численностей популяций N ₀ и C ₀. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению (из вар.12, для q=1)