Тогда окончательно получаем

IR_{1, 2} = U_{1, 2} + e. (4.10)

Выражение (4.10) является законом Ома в интегральной форме для цепи содержащей Э.Д.С. Если на данном участке источник тока отсутствует (ε = 0), то (4.10) переходит в обычный закон Ома (4.2).

Рассмотрим пример источника тока с Э.Д.С. e и внутренним сопротивлением r, замкнутого на внешнюю цепь (потребителя) с сопротивлением R. В цепь включены амперметр А, измеряющий ток I и вольтметр V, измеряющий напряжение U у потребителя. В качестве потребителя используем реостат R переменного сопротивления.

Полное сопротивление всей цепи R_полн = r + R и закон Ома для всей цепи примет вид

I(R + r) = e, (4.11)

или

.

Поскольку на участке внешней цепи Э.Д.С. отсутствует, то

U = IR = .

Формула дает зависимость напряжения от сопротивления нагрузки.

Если участок цепи не содержит Э.Д.С., а к нему приложена разность потенциалов U_{1, 2} и идет ток I, то за некоторый промежуток времени t через участок пройдет заряд q = It, при этом силы электрического поля совершат работу по переносу заряда от точки с более высоким к точке с более низким потенциалом.

A = (j₁ - j₂)q = U_{1, 2}I t. (4.12)

В соответствии с законом Ома эту работу можно выразить через сопротивление участка R:

A = I²R t = . (4.13)

Если на участке цепи находится источники тока, то при переносе заряда q работу совершают силы электрического поля и сторонние силы:

A = (U_{1, 2} + e)I t = I²R_{1, 2}t, (4.14)

или в случае замкнутой цепи из двух слагаемых A = U_{1, 2}I t + e I t первое обращаются в нуль, так как полное падение потенциала U_{1, 2} во всей цепи равно нулю. Поэтому

A = e I t = I²R_полн t. (4.15)

Работа, совершаемая за единицу времени: , есть выделяемая мощность. Для участка цепи

P = IU_{1, 2} + Ie.. (4.16)

Для всей цепи: P_полн = Ie.. (4.17)

Мощность, выделяемая во внешней цепи

P_вн = I U = I² R = . (4.18)

Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо совершать работу А. Энергия электрического тока в проводнике непрерывно расходуется и переходит в другие формы энергии. Действительно, проводник, по которому течет ток, нагревается и в нем выделяется некоторое количество тепла Q. Если других потерь нет, то по закону сохранения энергии

A = Q = I U t = I² R t = , (4.19)

Эти соотношения выражают закон Джоуля - Ленца.

Если в цепь включено очень малое сопротивление DR, то падение напряжения ничтожно, и ток в цепи определяется лишь сопротивлением остальной цепи и приборов большого сопротивления.

Тогда для расчета количества тепла, выделяемого на DR, следует использовать формулу: DQ = I²DR t.

В этом случае тепловая мощность DQ/t определяется только током в цепи I. Выполняя такое сопротивление из тонкой проволочки длины Dl и поперечного сечения S, мы видим, что

,

или

т.е. количество тепла, выделяющегося на единицу длины проволочки, тем больше, чем меньше её сечение.

В классической электронной теории металлов предполагается, что при соударения с ионами электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения. Уравнение движения электрона в процессе свободного пробега имеет вид:

(4.20)

где E - напряженность электрического поля в проводнике. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость их упорядоченного движения где < J _max> - средняя скорость электрона, приобретаемая под действием электрического поля на длине свободного пробега. Интегрируя это уравнение движения электрона по времени от 0 до < t >, получаем

. (4.21)

Электроны одновременно участвуют также в тепловом движении. Пренебрегая статическим распределением электронов проводимости по скоростям их теплового движения, будем считать, что модули скоростей всех электронов в этом движении одинаковы и равны < U >. Тогда, учитывая что < J > << < U >, можно определить среднее время свободного пробега электронов по формуле:

< t > = < l >/< U >, (4.22)

где < l > - средняя длина свободного пробега электронов. Подставим (4.22) в (4.21) для < J >:

< J> = e < l > E / (2m < U >). (4.23)

Из формулы для плотности тока I:

, (4.24)

где n₀ - концентрация электронов проводимости, e - заряд электрона, < J > - средняя скорость дрейфа электронов. Из формулы для < J > (4.23), следует, что плотность тока проводимости в металле

I = n₀e²<l>E / (2m<U>),

Величину g = n₀e²<l>/ (2m<U>), (4.25)

называют удельной электрической проводимостью, а обратную ей величину - удельным электрическим сопротивлением.

В единице объема проводника имеется n₀ электронов проводимости, каждый из которых испытывает ежесекундно в среднем < U >/< l > столкновений с ионами металла. Следовательно, энергия тока, равная

<DW_э> = 0.5 m <J_max>² ,

преобразующаяся во внутреннюю энергию в единице объема проводника за 1с, равна:

. (4.26)

Величину w называют объемной плотностью тепловой мощности тока. Заменяя <J_max> по формуле (4.21), где <t> = <l>/<U>, получаем

w = n₀e²<l>E² / (2m<U>)

или

w = gE² (4.27)

Это уравнение выражает закон Джоуля - Ленца для плотности тепловой мощности тока. Его часто называют законом Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Закон Джоуля ленца можно также переписать в форме

w = IE = I²/ g = r I². (4.28)

Рассмотрим участок цепи, содержащий источник тока с ЭДС e, внутренним сопротивлением r, замкнуты на внешнюю цепь сопротивлением R. В пределе, когда R®0, источник тока замкнут накоротко, говорят о режиме короткого замыкания. В этом случае ток максимален:

I = e /r = I_max,

Тогда, в соответствии с законом Джоуля - Ленца, количество теплоты, выделяемое в проводнике Q будет максимальным, что приводит к возгоранию и прочих негативным последствиям. Напряжение при этом во внешней цепи будет равно нулю. В противоположном предельном случае, R® ¥, цепь разомкнута, и ток отсутствует, а напряжение максимально и равно ЭДС источника. Такой режим называется холостым ходом.

Из закона Ома для полной цепи

e = I(R+r) = IR + Ir = U+Ir

или

U = e - Ir. (4.29)

Полученная зависимость U(I) называется нагрузочной характеристикой источника тока. Построив график зависимости U(I) можно найти e источника тока и его внутреннее сопротивление, экстраполировав его.

e = U_I=0; r = e / I_U=0. (4.30)

Полную мощность, развиваемую источником ЭДС модно записать в виде:

N = e I. (4.31)

Подставив в (4.31) закон Ома для полной цепи I = e /(R+r) получим полную мощность, выделяемую во всей цепи:

N = e²/(R+r). (4.32)

В нагрузке выделяется только часть этой мощности

N_R = UI = I²R = (4.33)

Эту мощность называют полезной. Максимальное значение полезной мощности достигается при условии согласованной нагрузки, т.е. R = r. Это можно доказать, исследовав функцию в выражении (4.33) на экстремум.

Отношение полезной и полной мощности развиваемой ЭДС в цепи, называется коэффициентом полезного действия источника тока:

h = N_R / N. (4.34)

Используя выражения (4.32) и (4.33) можно получить формулу:

h = R / (R+r), (4.35)

из которой видно, что КПД источника тока зависит от нагрузочного сопротивления R. При условии R = r КПД равен 50%.

Схема

В данной установке используются источник постоянного тока (0 ¸ 7В), два мультиметра, один в режиме вольтметра, другой в режиме амперметра; нагрузкой является магазин сопротивлений. Для того, чтобы исключить возможность получения короткого замыкания подключают дополнительное сопротивление R_Д, выбирая одно из сопротивлений моста.

Порядок выполнения работы

1. Собираем схему по рис.4. 3.

2. С помощью вольтметра устанавливают напряжение порядка 3¸5В (постоянный ток), на источнике питания 0¸7В.

3. Устанавливают на магазине сопротивление, порядка 10 кОм (используя только один тумблер переключения на магазине, около которого стоит множитель х10³).

4. Понижая сопротивление нагрузки на 1кОм, замеряют значения тока и напряжения на ней.

5. Результаты измерений представляют в виде таблицы, в которой должно быть не менее 11 значений.

Таблица

№ п/п	U B	I A	R Ом	NR Вт	N Вт	h %

6. По данным 2 и 3 колонок таблицы построить график нагрузочной характеристики источника тока U = U(I).

7. Экстраполируя нагрузочную линию до пересечения с осями I и U находим по формуле (4.30) e и r источника.

8. По закону Ома вычислить сопротивление нагрузки.

9. По формуле (4.33) рассчитать мощность N_R, выделяемую на нагрузке и результаты занести в таблицу.

10. Построить график зависимости мощности в нагрузке N_R от сопротивления нагрузки N_R= N_R(R).

11. По графику проверить условие согласованной нагрузки.

12. По формуле (4.31) рассчитать полную мощность N, а по формуле (4.34) - КПД источника тока и результаты занести в таблицу.

13. Построить график к зависимости h=h(R).

14. По одному из полученных результатов определить погрешность полученных значений методом косвенных измерений.

Контрольные вопросы

1. Основные характеристики источника и их нахождение из нагрузочной прямой.

2. Вывод законов Ома и Джоуля - Ленца (дифференциальная и интегральная форма).

3. Проводимость, удельная проводимость, плотность тока.

4. Холостой ход и режим короткого замыкания.

5. Полная и полезная мощность, КПД источника тока. Как зависят от R и их значения при согласованной нагрузке.

Литература

1. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики, М.: Наука, 1974. II том.

2. Калашников С.Г. Электричество, М.: Наука, 1985. Гл. 6.

3. Яворский Б. М., Детлаф А.А. Курс физики, М.: Высшая школа, 1983. II том.

4. Сорокин А.Ф., Сурков М.И., Кушкин С.А. Руководство к лабораторным работам по физике. Астрахань 1997.