Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N (ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство − аn − A −< ε.
Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.
Решение.
Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:
Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.
2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что
;
Пример 2.18. Найти предел последовательности .
Решение.
2.89. Найти предел последовательности:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
2.90. Вычислить пределы, используя равенство