Оптимальность по Парето

Введение

В науке и технике достаточно актуальны задачи многокритериальной оптимизации [1,2,3], требующие одновременной оптимизации сразу по нескольким функциям (критериям). Краеугольным понятием в многокритериальной оптимизации является – Парето-оптимальная (недоминируемая) альтернатива, т.к. поиск приемлемой ("оптимальной") альтернативы, являющейся решением многокритериальной задачи, следует выполнять на множестве недоминируемых альтернатив. Именно поэтому так актуальны методы, позволяющие выделять подмножества Парето-оптимальных альтернатив из множества возможных альтернатив.

Для облегчения результатов полезно всё время проводить аналогию с однокритериальным (классическим) случаем. Пусть имеется область D и задана функция f(X) – целевая функция (критерий). Задача оптимизации имеет вид

min f(X)

XÎD

Точка X₁ÎD называется оптимальной (недоминируемой, неулучшаемой), если не существует точки X₂ÎD, для которой f(X₁)>f(X₂) (целевая функция минимизируется). Аналогично в МЗО можно исключить из области D точки, которые заведомо не могут оказаться наилучшими.

Очевидно, что в обобщённом смысле определение оптимальности можно трактовать как описание (выделение) в подмножестве D некоторого нового подмножества D₀, т.е. некоторое сужение D до D₀ ÌD. В зависимости от характера описания, подмножество D₀ может оказаться пустым, состоять из одного элемента, содержать более одного элемента. Описание D₀ можно проводить либо только с помощью критериев Fi, либо использовать дополнительные условия. Здесь мы рассмотрим направление, которое связано с определением оптимальности по Парето[1].