Для решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей нашел широкое применение так называемый операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа.
Сущность этого метода заключается в том, что функции вещественного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного ρ = σ+ƒω таким образом, чтобы вместо интегро-дифференциальных уравнений получить алгебраические уравнения. После решения этих уравнений производят обратный переход к функции вещественного переменного t. Это значительно упрощает решение интегро-дифференциальных уравнений.
Переход от функции вещественного переменного t к функциям комплексного переменного р осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:
Обратный переход от функций комплексного переменного ρ к функциям вещественного переменного t осуществляют на основании обратного преобразования Лапласа:
Функцию ƒ(t) называют оригиналом, а функцию F(p) —изображением оригинала по Лапласу или просто изображением.
Напомним, что для того, чтобы функция ƒ(/) имела изображение (18.1), необходимо, чтобы она:
а) удовлетворяла условиям Дирихле;
б) была равна нулю для отрицательных значений t, т. е. при t<0 ƒ(t)+0;
в) в интервале t от 0 до не возрастала быстрее, чем некоторая показательная функция
,
где М и — произвольные положительные числа, т. е. здесь не требуется абсолютная интегрируемость функции ƒ(t), как это требуется в интегралах Фурье. Поэтому преобразования Лапласа возможны для более широкого класса функций, чем преобразования Фурье.
Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа, известные из математики.
1. Свойство линейности. Если , то
т. е. изображение суммы функций равно сумме изображений каждой из функций в отдельности.
2. Дифференцирование оригинала. Если , то
где ƒ(k- 1)(0) —значение производной (k —1)-го порядка функции ƒ ( t) при t=0.
При нулевых начальных условиях, когда ƒ(0)=ƒ'(0) ==...= ƒ (n-1)=0,
, (18.5)
т. е. n-кратному дифференцированию оригинала соответствует п-кратное умножение изображения на оператор р.
3. Интегрирование оригинала. Если f(t) F(p), то
т. е. операции интегрирования оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление его изображения на оператор р.
4. Теорема запаздывания. Если , то
, (18.7)
т. е. запаздыванию оригинала на время τ соответствует умножение изображения на .
5. Теорема смещения. Если , то
, (18.8)
т. е. замене в изображении оператора р на оператор р + δ соответствует умножение оригинала на
6. Умножение изображений (теорема свертывания). Если
и , то
т. е. умножений изображении соответствует «свертывание» оригиналов
Следствие: применяя правило дифференцирования оригинала к (18.9), получим
Это две формы записи интеграла Дюамеля, из которых можно получить остальные формы этого интеграла, рассмотренные в
разд. 14.
7. Теорема разложения. Если изображение имеет вид рациональной дроби
причем степень многочлена F1(p) ниже степени многочлена F2(р), коэффициенты ak и bk — вещественные числа, а корни р kуравнения F2(р) =0 различны, то оригинал определяется выражением
В случае если один из корней уравнения F2(p)=Q равен нулю, т. е. F2(p) = pF3(p), то оригинал находится по формуле
В случае если уравнение F 2(p)=0 имеет кратные корни, то оригинал находится по формуле
Теорема разложения в сочетании с другими свойствами преобразования Лапласа дает возможность составить таблицы изображений и оригиналов, облегчающие и ускоряющие нахождение оригиналов по изображениям [26]. Некоторые наиболее часто встречающиеся операторные соответствия приведены в табл. 18.1
Следует отметить, что возможность интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью операторного метода впервые была показана русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в 1862 г, В конце XIX в.
английский ученый О. Хевисайд применил этот метод к расчету электромагнитных переходных процессов. Большой вклад в развитие операционного исчисления и его применение к расчету электромагнитных процессов внесли советские ученые В. С. Игнатовский, А. М. Данилевский, А. М. Эфрос, К. А. Круг, М. И. Канторович и др.