Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.
В линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число такое, что:
1о.
2о. λ - скаляр;
3о.
Линейное пространство L называется евклидовым пространствам, если в нем определено скалярное произведение и для любого вектора , его скалярный квадрат будет положительным.
4°. при то ā=0
Обозначают n-мерное евклидово пространство Еn.
Таким образом, линейное пространство будет евклидовым, если введенное там (как угодно) скалярное произведение векторов будет удовлетворять четырем аксиомам 1°, 2°, 3°, 4°.
Пусть векторы заданы своими координатами
ā=(x1,x2,…,xn) и =(γ1, γ2, …, γn).
Легко проверить (проверьте!), что всем аксиомам будет удовлетворить скалярное произведение, определенное как сумма произведений соответствующих координат перемножаемых векторов
|
|
или .
Нормой (длиной) вектора ' называется число, равное
или
в координатной форме
Угол между векторами определяется по формуле
Покажем, что это определение корректно, то есть выполняется условие
Пусть λ - любое действительное число, .
Согласно аксиоме 4°, имеем используя аксиомы 1°-3°, последнее неравенство можно записать в виде
Это квадратное неравенство относительно λ справедливо, если его дискриминант неположительный, то есть,
или
Итак, доказали, что для любых справедливо неравенство -оно называется неравенством Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует: или
итак, действительно
Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.
Базис ē1, ē2, …, ēn в пространстве Еn называется ортонормированным, если имеет место:
В частности, в пространстве Е2 ортонормированным базисом является система двух векторов, их обозначают i, j:
в пространстве E3 ортонормированный базис обозначают i, j, k:
очевидно, что и
Пример 18. Дан треугольник АВС. где А(1, 2); В(0, 3); С(-2, -1). Найти
периметр его и угол А.